A tu medida
Cálculo diferencial e integral de varias variables: superficies en el espacio, derivadas parciales, gradiente, optimización con multiplicadores de Lagrange, integrales dobles y triples en coordenadas rectangulares, polares, cilíndricas y esféricas, y cálculo vectorial hasta los teoremas de Green, Stokes y la divergencia — organizado con la misma numeración de secciones (12.6 a 16.9, Stewart) y el mismo orden de examen departamental que usa el Departamento de Ciencias Matemáticas de la UPRM. Como en los exámenes reales de MATE 3063, todo es desarrollo. En la práctica de cada lección escribes tu respuesta dentro de la app y Aureo la revisa; los exámenes completos son cronometrados y se resuelven en papel, con la solución paso a paso al lado para que te corrijas. Calculadora científica permitida (no gráfica).
¿No sabes por dónde empezar? Doce preguntas cortas y te digo tu nivel en cada bloque.
Entra en el PRIMER parcial.
14.1 a 14.6 entran en el PRIMER parcial; 14.7 y 14.8 en el SEGUNDO.
Entra en el SEGUNDO parcial.
16.1 a 16.7 entran en el TERCER parcial; 16.8 y 16.9 solo en el EXAMEN FINAL.
Numeración oficial de secciones (Stewart, Calculus: Early Transcendentals) siguiendo el prontuario y el orden real de exámenes departamentales del Departamento de Ciencias Matemáticas de la UPRM.
A tu medida
Las sesiones todavía no han empezado: no se ha dado ninguna. Cuando arranquen será una al mes, y no una clase genérica — el temario del día sale de lo que el grupo inscrito falla en este curso.
Práctica completa
Son exámenes originales de Aureo, escritos con la agrupación de secciones del prontuario oficial de MATE 3063 y calibrados al formato de los tres parciales departamentales (100% desarrollo). No son documentos del departamento. Si tu profesor agrupa las secciones de otra forma, usa Arma tu propio examen arriba.
A diferencia de Precálculo y de Cálculo I y II, el Departamento de Ciencias Matemáticas de la UPRM no publica un archivo de exámenes viejos de Cálculo III. Los parciales son departamentales y se dan de noche (7:30–9:00 p. m.). Los exámenes de práctica de arriba están escritos con el temario y el formato del prontuario oficial vigente.
Esta sección cubre el primer examen departamental real de MATE 3063: se reconocen las superficies cuádricas por sus trazas y se desarrolla el cálculo diferencial de funciones de varias variables — límites, derivadas parciales, plano tangente, regla de la cadena y el vector gradiente.
Una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en \( x,y,z \). Se reconoce por sus trazas: las curvas donde la superficie corta planos paralelos a los coordenados. Las principales son el elipsoide \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \) (trazas elipses), el paraboloide elíptico \( z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \) (una variable de primer grado; trazas horizontales elipses y verticales parábolas), el paraboloide hiperbólico o silla \( z=x^2-y^2 \), el cono \( z^2=x^2+y^2 \), y los hiperboloides de una hoja \( x^2+y^2-z^2=1 \) y de dos hojas \( -x^2-y^2+z^2=1 \). Un cilindro aparece cuando falta una variable: la ecuación \( z=x^2 \) en el espacio genera un cilindro parabólico que se extiende a lo largo del eje \( y \).
Ejemplo: Identifica la superficie \( z=\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9} \) y describe su traza en el plano \( z=1 \).
Como \( z \) aparece a la primera potencia y \( x,y \) al cuadrado con el mismo signo, es un paraboloide elíptico que abre hacia \( +z \). Su traza en \( z=1 \) es \( \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1 \), una elipse.
1. El paraboloide \( z=x^2+y^2 \). Halla el radio del círculo que forma su traza en el plano \( z=9 \).
2. El elipsoide \( \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{z^2}{4}=1 \). Halla la longitud del semieje sobre el eje \( y \).
Una función de dos variables \( f \) asigna a cada par \( (x,y) \) de un dominio \( D \) un único número real \( z=f(x,y) \). El dominio es el conjunto de \( (x,y) \) donde la fórmula tiene sentido; la gráfica es la superficie \( z=f(x,y) \). Las curvas de nivel \( f(x,y)=k \) proyectan sobre el plano \( xy \) los puntos de igual altura, como las curvas de un mapa topográfico. Para tres variables, \( f(x,y,z) \) tiene superficies de nivel.
Ejemplo: Halla el dominio de \( f(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2} \) y evalúa \( f(0,0) \).
El radicando debe ser \( \ge 0 \): \( 9-x^2-y^2\ge0 \), es decir \( x^2+y^2\le9 \), el disco de radio 3. Y \( f(0,0)=\sqrt9=3 \).
1. Evalúa \( f(x,y)=x^2y+3y \) en el punto \( (2,-1) \).
2. Halla la curva de nivel \( k=4 \) de \( f(x,y)=x^2+y^2 \) e indica qué figura es.
El límite \( \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \) existe solo si \( f \) se acerca al mismo \( L \) por todo camino. Por eso, basta hallar dos caminos que den valores distintos para concluir que el límite no existe (se prueban \( y=0 \), \( x=0 \), \( y=mx \), \( y=x^2 \)). Si el límite existe y coincide con \( f(a,b) \), la función es continua ahí. Los polinomios y los cocientes de polinomios son continuos donde el denominador no se anula.
Ejemplo: Muestra que \( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{xy}{x^2+y^2} \) no existe.
Por el camino \( y=0 \): \( \dfrac{0}{x^2}=0 \). Por el camino \( y=x \): \( \dfrac{x^2}{2x^2}=\dfrac12 \). Como \( 0\ne\dfrac12 \), el límite no existe.
1. Evalúa \( \displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,2)} \big(x^2+xy-y\big) \).
2. Muestra por dos caminos que \( \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \) no existe. Da los dos valores.
La derivada parcial \( f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x} \) se calcula derivando respecto a \( x \) y tratando \( y \) como constante; \( f_y \) al revés. Geométricamente, \( f_x(a,b) \) es la pendiente de la superficie en la dirección \( x \). Las de segundo orden son \( f_{xx} \), \( f_{yy} \) y las mixtas, que cumplen \( f_{xy}=f_{yx} \) cuando son continuas (Teorema de Clairaut).
Ejemplo: Para \( f(x,y)=x^3y^2+2x \), halla \( f_x \) y \( f_y \).
Tratando \( y \) constante: \( f_x=3x^2y^2+2 \). Tratando \( x \) constante: \( f_y=2x^3y \).
1. Para \( f(x,y)=x^2y^3+e^{x} \), halla \( f_x \).
2. Para \( f(x,y)=\operatorname{sen}(xy) \), halla \( f_y \).
El plano tangente a \( z=f(x,y) \) en \( (a,b) \) es \( z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) \). La linealización \( L(x,y) \) es ese mismo lado derecho y aproxima \( f \) cerca de \( (a,b) \). El diferencial total \( dz=f_x\,dx+f_y\,dy \) estima el cambio de \( z \) ante cambios pequeños \( dx,dy \).
Ejemplo: Halla el plano tangente a \( z=x^2+y^2 \) en \( (1,2) \).
\( f_x=2x=2 \), \( f_y=2y=4 \) y \( f(1,2)=5 \). El plano es \( z=5+2(x-1)+4(y-2) \).
1. Halla el plano tangente a \( z=x^2+xy \) en el punto \( (1,1) \).
2. Usa el diferencial total para estimar el cambio \( dz \) de \( f(x,y)=x^2y \) cuando \( (x,y) \) pasa de \( (2,3) \) con \( dx=0.1 \) y \( dy=-0.1 \).
Si \( z=f(x,y) \) con \( x=x(t) \), \( y=y(t) \), entonces \( \dfrac{dz}{dt}=f_x\dfrac{dx}{dt}+f_y\dfrac{dy}{dt} \). Si \( x=x(s,t) \), \( y=y(s,t) \), entonces \( \dfrac{\partial z}{\partial t}=f_x\,x_t+f_y\,y_t \) (y análogo para \( s \)). Para diferenciación implícita de \( F(x,y)=0 \) se usa \( \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y} \).
Ejemplo: Sea \( z=x^2y \) con \( x=t^2 \), \( y=t^3 \). Halla \( \dfrac{dz}{dt} \).
\( \dfrac{dz}{dt}=(2xy)(2t)+(x^2)(3t^2)=(2t^2\cdot t^3)(2t)+(t^4)(3t^2)=4t^6+3t^6=7t^6. \)
1. Sea \( z=x^2+y^2 \) con \( x=\cos t \) y \( y=\operatorname{sen} t \). Halla \( \dfrac{dz}{dt} \).
2. Para \( F(x,y)=x^2+xy+y^2-7=0 \), halla \( \dfrac{dy}{dx} \) por diferenciación implícita.
El gradiente es \( \nabla f=\langle f_x, f_y\rangle \) (con \( f_z \) también en 3D). La derivada direccional en la dirección del vector unitario \( \mathbf{u} \) es \( D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u} \). El gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento, y su magnitud \( |\nabla f| \) es esa tasa máxima. Además, \( \nabla f \) es perpendicular a las curvas (o superficies) de nivel.
Ejemplo: Para \( f(x,y)=x^2+y^2 \) en \( (1,2) \), halla \( D_{\mathbf{u}}f \) en la dirección \( \mathbf{u}=\langle 3/5,4/5\rangle \).
\( \nabla f=\langle 2x,2y\rangle=\langle2,4\rangle \). Entonces \( D_{\mathbf{u}}f=\langle2,4\rangle\cdot\langle3/5,4/5\rangle=\dfrac{6}{5}+\dfrac{16}{5}=\dfrac{22}{5} \).
1. Halla el vector gradiente de \( f(x,y)=x^2y+y^3 \) en el punto \( (1,2) \).
2. ¿En qué tasa máxima crece \( f(x,y)=x^2+y^2 \) en el punto \( (1,2) \)? Da el valor de esa tasa máxima.
1. Superficies cuádricas: [12 pts.] a) (6 pts.) Identifica la superficie \(z = x^2 + y^2\) y describe la traza en el plano \(z=4\). b) (6 pts.) Identifica la superficie \(x^2 + y^2 - z^2 = 1\).
2. Dominio y curvas de nivel: [12 pts.] a) (6 pts.) Halla el dominio de \(f(x,y)=\sqrt{16-x^2-y^2}\). b) (6 pts.) Describe la curva de nivel \(k=1\) de \(f(x,y)=y-x^2\).
3. Derivadas parciales: [14 pts.] a) (8 pts.) Para \(f(x,y)=x^3y - 2xy^2 + 5\), halla \(f_x\) y \(f_y\). b) (6 pts.) Verifica el Teorema de Clairaut mostrando que \(f_{xy}=f_{yx}\).
4. Plano tangente y linealización: [14 pts.] a) (8 pts.) Halla el plano tangente a \(z = x^2 + 3xy + y^2\) en \((1,1)\). b) (6 pts.) Usa la linealización en \((1,1)\) para estimar \(f(1.1,\,0.9)\).
5. Regla de la cadena: [14 pts.] a) (7 pts.) Sea \(z = x^2 y\) con \(x = t^3\), \(y = t^2\). Halla \(\dfrac{dz}{dt}\). b) (7 pts.) Para \(x^2 + y^3 = xy + 5\), halla \(\dfrac{dy}{dx}\) por diferenciación implícita.
6. Gradiente y derivada direccional: [14 pts.] Sea \(f(x,y)=x^2 y + y^2\). a) (7 pts.) Halla \(\nabla f\) en \((2,1)\). b) (7 pts.) Halla la derivada direccional en \((2,1)\) en la dirección de \(\mathbf{v}=\langle 3,4\rangle\).
7. Límites: [12 pts.] a) (8 pts.) Muestra por dos caminos que \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}\) no existe. b) (4 pts.) Evalúa \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(2,1)} (x^2 y - 3y)\).
8. Aplicación del gradiente: [12 pts.] La temperatura en una placa es \(T(x,y)=x^2 + 2y^2\) (en °C, con \(x,y\) en cm). a) (6 pts.) ¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura en el punto \((1,1)\)? b) (6 pts.) ¿Cuál es esa tasa máxima de aumento?
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
El segundo examen departamental cierra la optimización de funciones de varias variables (puntos críticos y multiplicadores de Lagrange) y desarrolla las integrales dobles y triples en coordenadas rectangulares, polares, cilíndricas y esféricas.
Los puntos críticos de \( f(x,y) \) son donde \( f_x=0 \) y \( f_y=0 \) a la vez. El criterio de la segunda derivada usa el discriminante \( D=f_{xx}\,f_{yy}-(f_{xy})^2 \) evaluado en el punto crítico: si \( D>0 \) y \( f_{xx}>0 \) hay un mínimo local; si \( D>0 \) y \( f_{xx}<0 \), un máximo local; si \( D<0 \), un punto silla; y si \( D=0 \), el criterio no decide.
Ejemplo: Halla y clasifica los puntos críticos de \( f(x,y)=x^2+y^2-4x \).
\( f_x=2x-4=0\Rightarrow x=2 \); \( f_y=2y=0\Rightarrow y=0 \). Punto crítico \( (2,0) \). Como \( f_{xx}=2 \), \( f_{yy}=2 \), \( f_{xy}=0 \), se tiene \( D=4>0 \) y \( f_{xx}>0 \): mínimo local, con valor \( f(2,0)=-4 \).
1. Halla y clasifica el punto crítico de \( f(x,y)=x^2+y^2-6x+2y \).
2. Clasifica el punto crítico \( (0,0) \) de \( f(x,y)=x^2-y^2 \).
Para optimizar \( f(x,y) \) sujeto a la restricción \( g(x,y)=k \), se resuelve el sistema \( \nabla f=\lambda\,\nabla g \) junto con \( g=k \); es decir \( f_x=\lambda g_x \), \( f_y=\lambda g_y \) y \( g(x,y)=k \). Los puntos que cumplen el sistema son los candidatos; se evalúa \( f \) en cada uno para hallar el máximo y el mínimo.
Ejemplo: Halla los valores extremos de \( f(x,y)=xy \) sujeto a \( x^2+y^2=8 \).
\( \nabla f=\langle y,x\rangle=\lambda\langle 2x,2y\rangle \). De \( y=2\lambda x \) y \( x=2\lambda y \) sale \( y^2=x^2 \), o sea \( y=\pm x \). Con \( x^2+y^2=8 \): \( 2x^2=8 \), \( x=\pm2 \). Los candidatos dan \( f=4 \) (máximo, en \( (2,2) \) y \( (-2,-2) \)) y \( f=-4 \) (mínimo).
1. Usa multiplicadores de Lagrange para hallar el valor máximo de \( f(x,y)=x+y \) sujeto a \( x^2+y^2=2 \).
2. Halla el valor mínimo de \( f(x,y)=x^2+y^2 \) sujeto a \( x+2y=5 \).
La integral doble \( \iint_R f\,dA \) sobre un rectángulo \( R \) mide el volumen con signo bajo la superficie \( z=f(x,y) \). Se aproxima por sumas de Riemann sobre subrectángulos; la regla del punto medio evalúa \( f \) en el centro de cada uno y multiplica por su área. La integral de una constante \( c \) sobre \( R \) es \( c\cdot(\text{área de }R) \).
Ejemplo: Usa la regla del punto medio con un solo subrectángulo para estimar \( \iint_R (x+y)\,dA \) sobre \( R=[0,2]\times[0,2] \).
El centro es \( (1,1) \), donde \( f=2 \); el área de \( R \) es \( 4 \). La estimación es \( 2\cdot4=8 \).
1. Usa la regla del punto medio con un solo subrectángulo para estimar \( \iint_R xy\,dA \) sobre \( R=[0,2]\times[0,4] \).
2. Evalúa \( \iint_R 3\,dA \) sobre el rectángulo \( R=[1,4]\times[0,2] \).
El Teorema de Fubini permite calcular \( \iint_R f\,dA \) como una integral iterada: se integra primero respecto a una variable (tratando la otra como constante) y luego respecto a la otra. Sobre un rectángulo, el orden de integración no cambia el resultado.
Ejemplo: Evalúa \( \displaystyle\int_0^1\!\!\int_0^2 xy\,dy\,dx \).
Interna: \( \int_0^2 xy\,dy=x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^2=2x \). Externa: \( \int_0^1 2x\,dx=1 \).
1. Evalúa \( \displaystyle\int_0^1\!\!\int_0^3 (x+2y)\,dy\,dx \).
2. Evalúa \( \displaystyle\int_0^2\!\!\int_1^2 x^2y\,dx\,dy \).
En una región de Tipo I, \( \{a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\} \), se integra \( y \) primero: \( \iint_D f\,dA=\int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f\,dy\,dx \). En una de Tipo II, \( \{c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\} \), se integra \( x \) primero. Dibujar la región es clave para poner los límites, y a veces conviene invertir el orden para poder integrar.
Ejemplo: Evalúa \( \iint_D 2x\,dA \) donde \( D \) está bajo \( y=x^2 \), sobre \( y=0 \), con \( 0\le x\le2 \).
\( \int_0^2\!\int_0^{x^2} 2x\,dy\,dx=\int_0^2 2x\cdot x^2\,dx=\int_0^2 2x^3\,dx=\left[\frac{x^4}{2}\right]_0^2=8 \).
1. Evalúa \( \iint_D (x+y)\,dA \) donde \( D=\{0\le x\le1,\ 0\le y\le x\} \).
2. Invierte el orden de integración y evalúa \( \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx \).
En coordenadas polares \( x=r\cos\theta \), \( y=r\operatorname{sen}\theta \), y el elemento de área es \( dA=r\,dr\,d\theta \) — el factor \( r \) es esencial y olvidarlo es el error más común. Convienen cuando la región es un disco o un sector, o cuando el integrando tiene \( x^2+y^2 \) (que se vuelve \( r^2 \)).
Ejemplo: Evalúa \( \iint_D (x^2+y^2)\,dA \) sobre el disco \( r\le2 \).
\( \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^2 r^2\cdot r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2 r^3\,dr=2\pi\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2=2\pi\cdot4=8\pi \).
1. Usa coordenadas polares para hallar el área del disco \( r\le3 \) evaluando \( \iint_D dA \).
2. Evalúa \( \iint_D (x^2+y^2)\,dA \) sobre el disco \( r\le1 \).
La integral triple \( \iiint_E f\,dV \) extiende la integral doble a sólidos en el espacio. Sobre una caja se itera en cualquier orden (Fubini). Para regiones generales se describen los límites en un orden conveniente, típicamente \( dz\,dy\,dx \), integrando primero en \( z \) entre la tapa y el fondo del sólido. La integral de \( 1 \) sobre \( E \) da su volumen.
Ejemplo: Evalúa \( \displaystyle\int_0^1\!\!\int_0^2\!\!\int_0^3 xyz\,dz\,dy\,dx \).
Interna: \( \int_0^3 xyz\,dz=xy\left[\tfrac{z^2}{2}\right]_0^3=\tfrac92 xy \). Luego \( \int_0^2 \tfrac92 xy\,dy=\tfrac92 x\cdot2=9x \). Y \( \int_0^1 9x\,dx=\tfrac92 \).
1. Evalúa \( \displaystyle\int_0^1\!\!\int_0^1\!\!\int_0^2 (x+y+z)\,dz\,dy\,dx \).
2. Halla el volumen del sólido \( E=\{0\le x\le2,\ 0\le y\le3,\ 0\le z\le4\} \) con una integral triple.
Las coordenadas cilíndricas \( (r,\theta,z) \) usan \( x=r\cos\theta \), \( y=r\operatorname{sen}\theta \), \( z=z \), y el elemento de volumen es \( dV=r\,dz\,dr\,d\theta \). Convienen cuando el sólido tiene simetría alrededor del eje \( z \): cilindros, conos y paraboloides.
Ejemplo: Halla el volumen del cilindro \( r\le2 \), \( 0\le z\le5 \).
\( \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^2\!\!\int_0^5 r\,dz\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^2 5r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}5\cdot2\,d\theta=10\cdot2\pi=20\pi \).
1. Usa coordenadas cilíndricas para hallar el volumen del sólido \( r\le1 \), \( 0\le z\le3 \).
2. Evalúa \( \iiint_E (x^2+y^2)\,dV \) donde \( E \) es el cilindro \( r\le2 \), \( 0\le z\le1 \).
Las coordenadas esféricas \( (\rho,\theta,\phi) \) usan \( \rho\ge0 \) (distancia al origen), \( \phi\in[0,\pi] \) (ángulo desde el eje \( z \) positivo) y \( \theta \) (ángulo polar). El elemento de volumen es \( dV=\rho^2\operatorname{sen}\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta \). Convienen para esferas y conos, y cumplen \( x^2+y^2+z^2=\rho^2 \).
Ejemplo: Halla el volumen de la esfera \( \rho\le a \).
\( \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^a \rho^2\operatorname{sen}\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=2\pi\cdot\big[-\cos\phi\big]_0^{\pi}\cdot\left[\tfrac{\rho^3}{3}\right]_0^a=2\pi\cdot2\cdot\tfrac{a^3}{3}=\tfrac{4\pi a^3}{3} \).
1. Usa coordenadas esféricas para hallar el volumen de la esfera \( \rho\le2 \).
2. Evalúa \( \iiint_E (x^2+y^2+z^2)\,dV \) donde \( E \) es la esfera \( \rho\le1 \).
1. Máximos y mínimos: [14 pts.] Sea \(f(x,y)=x^2+y^2-4x+6y+2\). a) (7 pts.) Halla el punto crítico. b) (7 pts.) Clasifícalo con el criterio de la segunda derivada.
2. (14 pts.) Usa multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximo y mínimo de \(f(x,y)=2x+3y\) sujeto a \(x^2+y^2=13\).
3. (12 pts.) Evalúa la integral iterada \(\displaystyle\int_0^2\!\!\int_1^3 (2x+4y)\,dy\,dx\).
4. (14 pts.) Evalúa \(\displaystyle\iint_D 12xy\,dA\) donde \(D\) es la región acotada por \(y=x^2\), \(y=0\) y \(x=2\).
5. (12 pts.) Usa coordenadas polares para evaluar \(\displaystyle\iint_D (x^2+y^2)\,dA\) sobre el disco \(x^2+y^2\le 9\).
6. (14 pts.) Evalúa la integral triple \(\displaystyle\int_0^1\!\!\int_0^2\!\!\int_0^1 (2x+y+z)\,dz\,dy\,dx\).
7. (14 pts.) Usa coordenadas cilíndricas para hallar el volumen del sólido acotado arriba por \(z=4\) y abajo por el paraboloide \(z=x^2+y^2\).
8. (12 pts.) Usa coordenadas esféricas para evaluar \(\displaystyle\iiint_E (x^2+y^2+z^2)\,dV\) donde \(E\) es la bola \(x^2+y^2+z^2\le 4\).
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
El tercer examen departamental cubre el cálculo vectorial: campos vectoriales, integrales de línea, el teorema fundamental de las integrales de línea, el teorema de Green, rotacional y divergencia, y las integrales de superficie.
Un campo vectorial en el plano asigna a cada punto \( (x,y) \) un vector \( \mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle \); en el espacio, \( \mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle \). Modelan la velocidad de un fluido, la fuerza gravitatoria o un campo eléctrico. Un campo es conservativo si es el gradiente de una función potencial \( f \), es decir \( \mathbf{F}=\nabla f \). En el plano, si \( \mathbf{F}=\langle P,Q\rangle \) es conservativo en una región simplemente conexa, entonces \( P_y=Q_x \).
Ejemplo: ¿Es \( \mathbf{F}=\langle 2xy, x^2\rangle \) conservativo?
\( P=2xy \), \( Q=x^2 \). \( P_y=2x \) y \( Q_x=2x \) coinciden, así que sí; una función potencial es \( f=x^2y \).
1. Evalúa el campo vectorial \( \mathbf{F}(x,y)=\langle y,-x\rangle \) en el punto \( (2,3) \).
2. Determina si \( \mathbf{F}(x,y)=\langle 2x,2y\rangle \) es conservativo verificando \( P_y=Q_x \).
La integral de línea de un campo escalar, \( \int_C f\,ds \), mide por ejemplo la masa de un alambre; con la parametrización \( \mathbf{r}(t) \), \( a\le t\le b \), es \( \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt \). La integral de línea de un campo vectorial (el trabajo) es \( \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt \).
Ejemplo: Halla el trabajo de \( \mathbf{F}=\langle x,y\rangle \) a lo largo de \( \mathbf{r}(t)=\langle t,t^2\rangle \), \( 0\le t\le1 \).
\( \mathbf{r}'=\langle1,2t\rangle \), \( \mathbf{F}(\mathbf{r})=\langle t,t^2\rangle \), \( \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=t+2t^3 \). \( \int_0^1 (t+2t^3)\,dt=\tfrac12+\tfrac12=1 \).
1. Evalúa \( \displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \) para \( \mathbf{F}=\langle y,x\rangle \) sobre \( \mathbf{r}(t)=\langle t,t^2\rangle \), \( 0\le t\le1 \).
2. Halla \( \displaystyle\int_C 2x\,ds \) donde \( C \) es el segmento \( \mathbf{r}(t)=\langle t,t\rangle \), \( 0\le t\le1 \).
Si \( \mathbf{F}=\nabla f \) es conservativo, la integral de línea depende solo de los extremos: \( \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A) \), donde \( A \) es el punto inicial y \( B \) el final de \( C \). En particular, sobre una curva cerrada la integral es \( 0 \). Para aplicarlo hay que hallar la función potencial \( f \).
Ejemplo: \( \mathbf{F}=\langle 2xy,x^2\rangle=\nabla f \) con \( f=x^2y \). Halla \( \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \) de \( A(0,0) \) a \( B(1,3) \).
\( f(1,3)-f(0,0)=3-0=3 \).
1. El campo \( \mathbf{F} \) es el gradiente de \( f=x^2+y^2 \). Halla \( \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \) de \( A(0,0) \) a \( B(1,2) \).
2. El campo \( \mathbf{F}=\langle y,x\rangle \) tiene potencial \( f=xy \). Halla \( \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \) de \( A(1,1) \) a \( B(3,2) \).
El Teorema de Green relaciona una integral de línea sobre una curva cerrada simple \( C \) (orientada positivamente, en sentido antihorario) con una integral doble sobre la región \( D \) que encierra: \( \oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_D (Q_x-P_y)\,dA \). Convierte una integral de línea difícil en una doble más simple (o al revés). El área de \( D \) se puede obtener como \( \oint_C x\,dy \).
Ejemplo: Evalúa \( \oint_C (y\,dx+2x\,dy) \) sobre el cuadrado \( [0,1]\times[0,1] \), antihorario.
\( Q_x-P_y=2-1=1 \), así que \( \oint=\iint_D 1\,dA=\text{área}=1 \).
1. Usa el teorema de Green para evaluar \( \oint_C (3y\,dx+4x\,dy) \) sobre el círculo \( x^2+y^2=1 \), antihorario.
2. Usa el teorema de Green para hallar \( \oint_C x\,dy \) sobre la frontera del rectángulo \( [0,2]\times[0,3] \), antihorario.
Para \( \mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle \), la divergencia es \( \operatorname{div}\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=P_x+Q_y+R_z \) (un escalar que mide expansión o fuente). El rotacional es \( \operatorname{rot}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\langle R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y\rangle \) (un vector que mide rotación). En una región simple, \( \mathbf{F} \) es conservativo si y solo si \( \operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0} \), y es solenoidal si \( \operatorname{div}\mathbf{F}=0 \).
Ejemplo: Para \( \mathbf{F}=\langle x,y,z\rangle \), halla \( \operatorname{div}\mathbf{F} \) y \( \operatorname{rot}\mathbf{F} \).
\( \operatorname{div}\mathbf{F}=1+1+1=3 \). \( \operatorname{rot}\mathbf{F}=\langle0-0,\ 0-0,\ 0-0\rangle=\mathbf{0} \).
1. Halla \( \operatorname{div}\mathbf{F} \) para \( \mathbf{F}=\langle x^2y,\ y^2z,\ z^2x\rangle \).
2. Halla \( \operatorname{rot}\mathbf{F} \) para \( \mathbf{F}=\langle y,-x,0\rangle \).
Una superficie paramétrica es \( \mathbf{r}(u,v)=\langle x(u,v),y(u,v),z(u,v)\rangle \), y su área es \( \iint_D |\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\,dA \). Para una gráfica \( z=f(x,y) \), el área de superficie se reduce a \( \iint_D \sqrt{1+f_x^{\,2}+f_y^{\,2}}\,dA \).
Ejemplo: Halla el área de la parte del plano \( z=2x+3y \) sobre el rectángulo \( [0,1]\times[0,1] \).
\( f_x=2 \), \( f_y=3 \), así \( \sqrt{1+4+9}=\sqrt{14} \). El área es \( \iint_D \sqrt{14}\,dA=\sqrt{14} \).
1. Halla el área de la parte del plano \( z=x+2y \) sobre el rectángulo \( [0,2]\times[0,1] \).
2. Para la superficie \( z=x^2+y^2 \), plantea el integrando (con la raíz) del área de superficie.
La integral de superficie de un campo escalar, \( \iint_S g\,dS \), generaliza la integral doble a una superficie curva; para \( z=f(x,y) \) se usa \( dS=\sqrt{1+f_x^{\,2}+f_y^{\,2}}\,dA \). El flujo de un campo vectorial a través de \( S \) es \( \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \), que mide cuánto atraviesa la superficie.
Ejemplo: Evalúa \( \iint_S z\,dS \) donde \( S \) es \( z=x+y \) sobre \( [0,1]\times[0,1] \).
\( dS=\sqrt{1+1+1}\,dA=\sqrt3\,dA \). \( \iint_S z\,dS=\sqrt3\int_0^1\!\int_0^1 (x+y)\,dy\,dx=\sqrt3\cdot1=\sqrt3 \).
1. Evalúa \( \iint_S dS \) (el área) donde \( S \) es la parte del plano \( z=2x+y \) sobre \( [0,1]\times[0,2] \).
2. Evalúa \( \iint_S x\,dS \) donde \( S \) es la parte del plano \( z=y \) sobre el cuadrado \( [0,1]\times[0,1] \).
1. Campo conservativo: [12 pts.] Sea \(\mathbf{F}=\langle 2xy+y,\ x^2+x\rangle\). a) (6 pts.) Muestra que es conservativo. b) (6 pts.) Halla una función potencial \(f\).
2. (14 pts.) Halla el trabajo de \(\mathbf{F}=\langle x^2,\ y\rangle\) a lo largo de \(\mathbf{r}(t)=\langle t,\ t^2\rangle\), \(0\le t\le 1\).
3. (12 pts.) Evalúa la integral de línea escalar \(\displaystyle\int_C (x+y)\,ds\) donde \(C\) es \(\mathbf{r}(t)=\langle 3t,\ 4t\rangle\), \(0\le t\le 1\).
4. (14 pts.) El campo \(\mathbf{F}=\langle 2x,\ 2y\rangle\) tiene potencial \(f=x^2+y^2\). Usa el teorema fundamental para hallar \(\displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) de \(A(1,0)\) a \(B(2,3)\).
5. (14 pts.) Usa el teorema de Green para evaluar \(\displaystyle\oint_C (2y\,dx + 5x\,dy)\) sobre el círculo \(x^2+y^2=4\), antihorario.
6. Divergencia y rotacional: [14 pts.] Sea \(\mathbf{F}=\langle xz,\ xyz,\ -y^2\rangle\). a) (7 pts.) Halla \(\operatorname{div}\mathbf{F}\). b) (7 pts.) Halla \(\operatorname{rot}\mathbf{F}\).
7. (12 pts.) Halla el área de la parte del plano \(z=2x+2y\) sobre el rectángulo \([0,1]\times[0,3]\).
8. (12 pts.) Evalúa la integral de superficie \(\displaystyle\iint_S y\,dS\) donde \(S\) es la parte del plano \(z=x\) sobre \([0,2]\times[0,1]\).
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
El prontuario coloca estos dos grandes teoremas después del tercer parcial: solo entran en el examen final. Cierran el curso conectando integrales de línea, de superficie y de volumen.
El Teorema de Stokes generaliza el de Green al espacio: relaciona la integral de línea de \( \mathbf{F} \) sobre la curva frontera cerrada \( C \) de una superficie \( S \) con el flujo del rotacional a través de \( S \): \( \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_S (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} \). La orientación de \( C \) y la normal de \( S \) siguen la regla de la mano derecha. Cuando \( S \) es plana en el plano \( xy \), Stokes se reduce a Green.
Ejemplo: Si \( \operatorname{rot}\mathbf{F}=\langle 0,0,2\rangle \) y \( S \) es el disco \( x^2+y^2\le1 \) en \( z=0 \) con normal \( \langle0,0,1\rangle \), halla \( \iint_S (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} \).
\( (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=2 \), así que \( \iint_S 2\,dS=2\cdot(\text{área})=2\pi \).
1. Sea \( \mathbf{F}=\langle y,z,x\rangle \). Halla \( \operatorname{rot}\mathbf{F} \) (el vector que se integra al aplicar Stokes).
2. \( \operatorname{rot}\mathbf{F}=\langle0,0,2\rangle \) y \( S \) es el disco \( x^2+y^2\le1 \) en \( z=0 \) con normal \( \langle0,0,1\rangle \). Usa Stokes para hallar \( \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \).
El Teorema de la divergencia (de Gauss) relaciona el flujo de \( \mathbf{F} \) a través de una superficie cerrada \( S \) con la integral triple de la divergencia sobre el sólido \( E \) que encierra: \( \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_E (\operatorname{div}\mathbf{F})\,dV \). Convierte un flujo difícil en una integral de volumen más manejable.
Ejemplo: Sea \( \mathbf{F}=\langle x,y,z\rangle \) y \( S \) la esfera \( \rho=1 \). Halla el flujo.
\( \operatorname{div}\mathbf{F}=1+1+1=3 \). \( \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_E 3\,dV=3\cdot\tfrac{4\pi}{3}=4\pi \).
1. Sea \( \mathbf{F}=\langle x,y,z\rangle \) y \( S \) la esfera de radio \( 2 \). Usa la divergencia para hallar el flujo a través de \( S \).
2. Sea \( \mathbf{F}=\langle 2x,3y,z\rangle \) y \( E \) el cubo \( [0,1]^3 \). Halla el flujo total \( \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} \).
1. Derivadas parciales y plano tangente: [12 pts.] Sea \(f(x,y)=x^2y+y^3\). a) (6 pts.) Halla \(f_x\) y \(f_y\). b) (6 pts.) Halla el plano tangente en \((1,2)\).
2. Gradiente y derivada direccional: [12 pts.] Sea \(f(x,y)=x^2+xy+y^2\). a) (6 pts.) Halla \(\nabla f\) en \((1,2)\). b) (6 pts.) Halla \(D_{\mathbf{u}}f\) en la dirección de \(\mathbf{v}=\langle 3,4\rangle\).
3. (12 pts.) Usa multiplicadores de Lagrange para hallar el máximo y el mínimo de \(f(x,y)=x+2y\) sujeto a \(x^2+y^2=5\).
4. (12 pts.) Usa coordenadas polares para evaluar \(\displaystyle\iint_D \sqrt{x^2+y^2}\,dA\) sobre el disco \(x^2+y^2\le 9\).
5. (12 pts.) Usa coordenadas esféricas para hallar el volumen de la esfera \(\rho\le 3\).
6. (12 pts.) El campo \(\mathbf{F}=\langle 2xy,\ x^2\rangle\) tiene potencial \(f=x^2y\). Usa el teorema fundamental para hallar \(\displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) de \(A(0,0)\) a \(B(2,1)\).
7. (14 pts.) Usa el teorema de Green para evaluar \(\displaystyle\oint_C (-y\,dx + x\,dy)\) sobre el círculo \(x^2+y^2=4\), antihorario.
8. (14 pts.) Usa el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) donde \(\mathbf{F}=\langle -y,\ x,\ 0\rangle\) y \(C\) es el círculo \(x^2+y^2=1\) en el plano \(z=0\), antihorario.
9. (12 pts.) Usa el teorema de la divergencia para hallar el flujo de \(\mathbf{F}=\langle x,\ y,\ z\rangle\) a través de la esfera \(x^2+y^2+z^2=1\).
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.