Límites, derivadas y las herramientas del cambio. Las 4 unidades están completas, con ejercicios y un examen final de práctica de 2 horas al final.
El límite de f(x) cuando x se acerca a un valor a describe a qué número se acerca f(x), aunque f no esté definida exactamente en a. Cuando la función es "de un solo trazo" (continua) cerca de a, basta con sustituir directamente.
Ejemplo directo: limx→3 (2x + 1). Como la función es continua, sustituimos: 2(3) + 1 = 7.
Ejemplo con forma indeterminada 0/0: limx→2 (x² − 4)/(x − 2). Sustituir da 0/0, así que factorizamos: (x−2)(x+2)/(x−2) = x + 2. Ahora sí sustituimos: 2 + 2 = 4.
1. limx→5 (3x − 2) = ?
2. limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = ?
3. ¿Qué se necesita para que f sea continua en x = a?
4. limx→0 (x² + 3x)/x = ?
1. limx→4 (x² − 16)/(x − 4) = ?
2. limx→2 (5) = ?
3. limx→−1 (x² + 2x + 1)/(x + 1) = ?
4. limx→3 (x² − 9)/(x − 3) = ?
5. Si el límite por la izquierda de f en x=a es distinto al límite por la derecha, ¿existe limx→a f(x)?
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La derivada f'(x) mide la razón de cambio instantánea de f — la pendiente de la recta tangente en cada punto. La regla de la potencia es la más usada: si f(x) = xⁿ, entonces f'(x) = n·x^(n−1). La derivada de una constante es siempre 0.
Ejemplo con la regla de la potencia: f(x) = x³ → f'(x) = 3x².
Ejemplo con varios términos: f(x) = 5x² + 3x → f'(x) = 10x + 3 (cada término se deriva por separado).
1. Si f(x) = x⁴, ¿cuánto es f'(x)?
2. Si f(x) = 7 (una constante), ¿cuánto es f'(x)?
3. Si f(x) = 3x² + 2x, ¿cuánto es f'(x)?
4. Si f(x) = x, ¿cuánto es f'(x)?
1. Si f(x) = x⁵, ¿cuánto es f'(x)?
2. Si f(x) = 4x³ − 2x, ¿cuánto es f'(x)?
3. Si f(x) = 10, ¿cuánto es f'(x)?
4. Si f(x) = 2x² + 5x − 3, ¿cuánto es f'(2)?
5. ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a f(x) = x² en x = 3?
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La derivada nos dice si una función crece (f'(x) > 0) o decrece (f'(x) < 0). Los puntos críticos ocurren donde f'(x) = 0, y suelen ser los máximos o mínimos de la función.
Ejemplo: f(x) = x² − 4x + 3. Derivamos: f'(x) = 2x − 4. Igualamos a 0: 2x − 4 = 0 → x = 2. Como la parábola abre hacia arriba, ese punto es un mínimo.
1. ¿Dónde tiene f(x) = x² − 4x + 3 un punto crítico?
2. Si f'(x) > 0 en un intervalo, f es:
3. En una parábola que abre hacia arriba (como x²), su punto crítico es un:
4. f(x) = −2x² + 8x. ¿Dónde está su punto crítico?
1. f(x) = x² − 2x. ¿Dónde está su punto crítico?
2. Si f'(x) = 3x², ¿puede f'(x) ser negativa alguna vez?
3. Si f'(x) < 0 en un intervalo, f es:
4. f(x) = −2x² + 8x. ¿Dónde está su punto crítico?
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La integral (o antiderivada) es el proceso inverso de la derivada: buscamos una función cuya derivada sea la que tenemos. La regla de la potencia para integrar es: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (la constante C aparece porque muchas funciones tienen la misma derivada).
Ejemplo: ∫x² dx = x³/3 + C.
Ejemplo con varios términos: ∫(2x + 3) dx = x² + 3x + C.
1. ∫x³ dx = ?
2. ∫5 dx = ?
3. La integral es el proceso inverso de:
4. ∫4x dx = ?
1. ∫x⁴ dx = ?
2. ∫6x² dx = ?
3. ∫1 dx = ?
4. Geométricamente, ¿qué representa una integral definida?
5. ∫(3x² + 2) dx = ?
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1. limx→5 (x² − 25)/(x − 5) = ?
2. ¿Qué condición garantiza que f sea continua en x = a?
3. Si f(x) = 2x³ − 4x, ¿cuánto es f'(x)?
4. Si f(x) = 20, ¿cuánto es f'(x)?
5. f(x) = x² − 6x + 5. ¿Dónde está su punto crítico?
6. Si f'(x) > 0 en todo un intervalo, la función es:
7. ∫x² dx = ?
8. ∫(2x + 5) dx = ?
⏰ Se acabó el tiempo. Así se siente un final real — revisa tus respuestas y repite cuando quieras.