A tu medida
Límites, derivadas, sus aplicaciones y una introducción a la integral, organizados con la misma numeración de secciones (2.2 a 6.3) y el mismo orden de examen que usa el Departamento de Ciencias Matemáticas de la UPRM. Como en los exámenes reales de MATE 3031, el peso está en el desarrollo: los problemas abiertos se escriben dentro de la app y Aureo revisa tu procedimiento completo, incluyendo demostraciones formales con la definición épsilon-delta cuando aplica.
¿No sabes por dónde empezar? Doce preguntas cortas y te digo tu nivel en cada bloque.
Entra en el PRIMER parcial (junto con 3.1).
3.1 cierra el PRIMER parcial; 3.2 a 3.7 son el SEGUNDO; 3.9 y 3.10 abren el TERCERO.
4.1 a 4.7 entran en el TERCER parcial; 4.8 y 4.9 en el CUARTO.
5.1 a 5.4 entran en el CUARTO parcial; 5.5 solo en el EXAMEN FINAL.
6.1 solo entra en el EXAMEN FINAL. Los volúmenes (6.2 y 6.3) son del primer parcial de Cálculo II: están aquí como adelanto.
Numeración oficial de secciones (Stewart, Calculus: Early Transcendentals) siguiendo el prontuario y el orden real de exámenes parciales del Departamento de Ciencias Matemáticas de la UPRM.
A tu medida
Las sesiones todavía no han empezado: no se ha dado ninguna. Cuando arranquen será una al mes, y no una clase genérica — el temario del día sale de lo que el grupo inscrito falla en este curso.
Práctica completa
Son exámenes originales de Aureo, escritos con la agrupación de secciones del prontuario oficial de MATE 3031 y calibrados al formato y puntaje de los parciales reales. No son documentos del departamento. Si tu profesor agrupa las secciones de otra forma, usa Arma tu propio examen arriba.
El Departamento de Ciencias Matemáticas de la UPRM publica los exámenes de semestres pasados de MATE 3031: hay alrededor de 55 en su archivo. Son los documentos originales, tal como se dieron en el curso.
Ver el archivo oficial de la UPRMEsta sección cubre exactamente lo que el primer examen parcial real de MATE 3031 evalúa: desde la idea intuitiva de límite hasta las primeras reglas de derivación.
La idea intuitiva del límite describe el valor al que se acerca \( f(x) \) cuando \( x \) se acerca a un número \( a \), sin que \( x \) llegue a ser igual a \( a \). Para estudiar este comportamiento con precisión usamos los límites laterales: \( \lim_{x\to a^-} f(x) \) (acercándonos por la izquierda) y \( \lim_{x\to a^+} f(x) \) (acercándonos por la derecha). El límite \( \lim_{x\to a} f(x) \) existe únicamente cuando ambos límites laterales existen y son iguales entre sí. Si los límites laterales no coinciden, decimos que el límite no existe en ese punto, sin importar el valor que tome (o no) la función exactamente en \( x=a \).
Ejemplo: Sea \( f(x) = \begin{cases} 2x+3 & \text{si } x < 1 \\ x^2+1 & \text{si } x > 1 \end{cases} \). Calculamos \( \displaystyle\lim_{x\to 1^-} f(x) = 2(1)+3 = 5 \) y \( \displaystyle\lim_{x\to 1^+} f(x) = (1)^2+1 = 2 \). Como \( 5 \neq 2 \), los límites laterales no coinciden y por lo tanto \( \displaystyle\lim_{x\to 1} f(x) \) no existe.
1. Sea \( f(x) = \begin{cases} x+4 & \text{si } x < 3 \\ x^2-2 & \text{si } x \geq 3 \end{cases} \). Calcula \( \displaystyle\lim_{x\to 3} f(x) \) (si existe, da su valor; si no existe, escribe DNE).
2. Sea \( g(x) = \begin{cases} 5-2x & \text{si } x < 2 \\ x^2-1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases} \). Calcula \( \displaystyle\lim_{x\to 2} g(x) \) (si existe, da su valor; si no existe, escribe DNE).
Muchos límites de la forma \( \lim_{x\to a} f(x) \) no pueden evaluarse sustituyendo directamente porque producen la forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Cuando esto ocurre, dos técnicas algebraicas suelen resolver el problema: la factorización, que cancela el factor común responsable de la indeterminación, y la racionalización, que multiplica por el conjugado cuando hay raíces cuadradas involucradas. En ambos casos el objetivo es reescribir la expresión de modo que el factor problemático se cancele antes de sustituir el valor de \( a \).
Ejemplo: Para \( \displaystyle\lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3} \), la sustitución directa da \( \frac{0}{0} \). Factorizamos: \( \displaystyle\frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 \) para \( x \neq 3 \). Por lo tanto \( \displaystyle\lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3} = 3+3 = 6 \).
1. Calcula \( \displaystyle\lim_{x\to -2} \frac{x^2-x-6}{x+2} \).
2. Calcula \( \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \).
La definición formal precisa la idea intuitiva de límite con cuantificadores: decimos que \( \lim_{x\to a} f(x) = L \) si para todo \( \varepsilon > 0 \) existe un \( \delta > 0 \) tal que siempre que \( 0 < |x-a| < \delta \), se cumple \( |f(x)-L| < \varepsilon \). En palabras, podemos hacer que \( f(x) \) esté tan cerca de \( L \) como queramos (dentro de una distancia \( \varepsilon \)) con tal de tomar \( x \) suficientemente cerca de \( a \) (dentro de una distancia \( \delta \)). Para funciones lineales, encontrar el \( \delta \) adecuado en términos de \( \varepsilon \) es un ejercicio algebraico directo: se manipula \( |f(x)-L| \) hasta despejar \( |x-a| \).
Ejemplo: Demostremos que \( \displaystyle\lim_{x\to 2} (3x+1) = 7 \) usando la definición \( \varepsilon\)-\( \delta \). Dado \( \varepsilon > 0 \), buscamos \( \delta > 0 \) tal que \( 0<|x-2|<\delta \) implique \( |(3x+1)-7|<\varepsilon \). Notemos que \( |(3x+1)-7| = |3x-6| = 3|x-2| \). Si elegimos \( \delta = \varepsilon/3 \), entonces \( 0<|x-2|<\delta \) implica \( |(3x+1)-7| = 3|x-2| < 3\delta = \varepsilon \), como se quería.
1. Usando la definición \( \varepsilon\)-\( \delta \), demuestra que \( \displaystyle\lim_{x\to 1} (4x-2) = 2 \). Encuentra \( \delta \) en términos de \( \varepsilon \).
2. Usando la definición \( \varepsilon\)-\( \delta \), demuestra que \( \displaystyle\lim_{x\to -1} (5x+7) = 2 \). Encuentra \( \delta \) en términos de \( \varepsilon \).
Una función \( f \) es continua en \( x=a \) cuando se cumplen tres condiciones: (1) \( f(a) \) está definida, (2) \( \lim_{x\to a} f(x) \) existe, y (3) \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \). Si alguna de estas falla, hay una discontinuidad en \( a \): es removible si el límite existe pero no coincide con \( f(a) \) (o \( f(a) \) no está definida), y es no removible (de salto o infinita) cuando los límites laterales difieren o la función crece sin cota. El Teorema del Valor Intermedio (TVI) aprovecha la continuidad: si \( f \) es continua en \( [a,b] \) y \( N \) está entre \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe al menos un \( c \) en \( (a,b) \) con \( f(c)=N \); en particular, sirve para garantizar la existencia de raíces.
Ejemplo: Sea \( f(x) = \frac{x^2-4}{x-2} \) para \( x \neq 2 \), con \( f(2)=5 \). Como \( \displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4 \), y \( f(2) = 5 \neq 4 \), la función tiene una discontinuidad removible en \( x=2 \) (se arregla redefiniendo \( f(2)=4 \)).
1. Sea \( g(x) = \begin{cases} x^2+1 & \text{si } x \leq 1 \\ 3x & \text{si } x > 1 \end{cases} \). Determina si \( g \) es continua en \( x=1 \). Si no lo es, clasifica el tipo de discontinuidad.
2. Sea \( h(x) = x^3 - x - 3 \). Usa el Teorema del Valor Intermedio para mostrar que \( h \) tiene al menos una raíz en el intervalo \( (1,2) \).
Cuando \( x \) crece sin cota (\( x\to\infty \)) o decrece sin cota (\( x\to -\infty \)), el comportamiento de \( f(x) \) determina si hay una asíntota horizontal \( y=L \), donde \( L = \lim_{x\to\pm\infty} f(x) \). Para funciones racionales, la técnica estándar es dividir numerador y denominador entre la potencia más alta de \( x \) que aparezca en el denominador; los términos de la forma \( c/x^n \) tienden a cero. Las asíntotas verticales, en cambio, ocurren donde el denominador se anula (y el numerador no), causando que \( |f(x)| \to \infty \).
Ejemplo: Para \( \displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+5x}{2x^2-7} \), dividimos numerador y denominador entre \( x^2 \): \( \displaystyle\frac{3+\frac{5}{x}}{2-\frac{7}{x^2}} \). Cuando \( x\to\infty \), los términos \( \frac{5}{x} \) y \( \frac{7}{x^2} \) tienden a 0, así que el límite es \( \frac{3}{2} \). Esto indica que la gráfica tiene una asíntota horizontal en \( y = \frac{3}{2} \).
1. Calcula \( \displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{4x^3-x}{2x^3+6x^2} \).
2. Calcula \( \displaystyle\lim_{x\to\infty} \left( \sqrt{9x^2+1} - 3x \right) \).
La derivada de \( f \) en \( x=a \) se define como \( \displaystyle f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \), siempre que este límite exista. Geométricamente, \( f'(a) \) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto \( (a, f(a)) \); físicamente, representa la razón de cambio instantánea de \( f \) respecto a \( x \) en \( a \) (por ejemplo, velocidad instantánea si \( f \) es una función de posición). Una vez conocemos \( f'(a) \), la ecuación de la recta tangente en ese punto es \( y - f(a) = f'(a)(x-a) \).
Ejemplo: Para \( f(x) = x^2+3x \), hallemos \( f'(2) \) con la definición: \( f(2)=10 \) y \( f(2+h) = (2+h)^2+3(2+h) = h^2+7h+10 \), así que \( \displaystyle\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{h^2+7h}{h} = h+7 \to 7 \) cuando \( h\to 0 \). Entonces \( f'(2)=7 \), y la recta tangente en \( x=2 \) es \( y-10=7(x-2) \), es decir, \( y = 7x-4 \).
1. Sea \( f(x) = x^2-4x+5 \). Usando la definición de la derivada, encuentra \( f'(1) \) y luego escribe la ecuación de la recta tangente a \( f \) en \( x=1 \).
2. La posición de una partícula viene dada por \( s(t) = t^2+2t \) (en metros). Usando la definición de la derivada, encuentra la velocidad instantánea en \( t=3 \).
Si \( f'(a) \) existe para cada \( a \) en un intervalo, obtenemos una nueva función \( f' \) que asigna a cada \( x \) la pendiente de la tangente en ese punto; a esto se le llama la derivada de \( f \) como función. Un hecho importante es que si \( f \) es diferenciable en \( a \), entonces \( f \) es continua en \( a \); sin embargo, el recíproco es falso: hay funciones continuas que no son diferenciables, típicamente en esquinas o cúspides, donde las derivadas laterales no coinciden. Además, podemos derivar \( f' \) otra vez para obtener la segunda derivada \( f'' \), que mide la razón de cambio de la razón de cambio (por ejemplo, la aceleración cuando \( f \) es posición).
Ejemplo: Sea \( f(x) = |x| \). Es continua en \( x=0 \) porque \( \lim_{x\to 0}|x| = 0 = f(0) \). Pero las derivadas laterales en 0 son \( \displaystyle\lim_{h\to 0^+} \frac{|h|-0}{h} = \frac{h}{h} = 1 \) y \( \displaystyle\lim_{h\to 0^-} \frac{|h|-0}{h} = \frac{-h}{h} = -1 \). Como \( 1 \neq -1 \), \( f'(0) \) no existe: hay una esquina en \( x=0 \) aunque \( f \) sea continua ahí.
1. Sea \( f(x) = x^2-5x \). Usando la definición de la derivada, encuentra \( f'(x) \) como función general, y luego usa la definición otra vez para encontrar \( f''(x) \).
2. Sea \( h(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ 2x-1 & \text{si } x > 1 \end{cases} \). Determina si \( h \) es continua en \( x=1 \) y si es diferenciable en \( x=1 \) (usa las derivadas laterales).
Con la derivada ya definida como límite, podemos derivar reglas que evitan repetir ese límite cada vez. La regla de la potencia dice que \( \frac{d}{dx}\left[x^n\right] = nx^{n-1} \); la regla del múltiplo constante dice que \( \frac{d}{dx}\left[c\,f(x)\right] = c\,f'(x) \); y la regla de la suma/resta permite derivar término por término: \( \frac{d}{dx}\left[f(x)\pm g(x)\right] = f'(x)\pm g'(x) \). Además, la función exponencial natural cumple \( \frac{d}{dx}\left[e^x\right] = e^x \), es decir, es su propia derivada.
Ejemplo: Para \( f(x) = 4x^3-7x^2+5x-9+3e^x \), derivamos término por término: \( \frac{d}{dx}[4x^3]=12x^2 \), \( \frac{d}{dx}[-7x^2]=-14x \), \( \frac{d}{dx}[5x]=5 \), \( \frac{d}{dx}[-9]=0 \), y \( \frac{d}{dx}[3e^x]=3e^x \). Sumando, \( f'(x) = 12x^2-14x+5+3e^x \).
1. Encuentra la derivada de \( f(x) = 5x^4-2x^3+6x-8 \).
2. Sea \( g(x) = 7e^x-3x^2+4x+1 \). Encuentra \( g'(x) \) y luego evalúa \( g'(0) \).
1. Evalúa los siguientes límites: [20 pts.] a) (5 pts.) \(\displaystyle\lim_{x\to 6}\frac{x^2-36}{x-6}\) b) (5 pts.) \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+25}-5}{x}\) c) (5 pts.) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{6x^2-x}{3x^2+2}\) d) (5 pts.) \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\tfrac1x-1}{x-1}\)
2. Definición épsilon-delta: [12 pts.] a) (6 pts.) Use la gráfica de \(f(x)=\sqrt{x}\) para hallar \(\delta\) tal que si \(|x-9|<\delta\) entonces \(|\sqrt{x}-3|<0.5\). b) (6 pts.) Demuestre formalmente, usando la definición épsilon-delta, que \(\displaystyle\lim_{x\to 4}(2x+3)=11\).
3. Sea \(y=\dfrac{3x^2-2x-1}{x^2-1}\). [12 pts.] a) (4 pts.) Halle las asíntotas verticales y clasifique cualquier discontinuidad. b) (4 pts.) Halle la asíntota horizontal. c) (4 pts.) Grafique la función indicando sus asíntotas y cualquier punto removido.
4. (10 pts.) Halle el valor de \(a\) para que \(f(x)=\begin{cases}ax^2-1 & x<2\\ 2x+a & x\ge2\end{cases}\) sea continua en \(x=2\).
5. (8 pts.) Halle un intervalo donde \(f(x)=x^3-3x+1\) tiene al menos una raíz. Enuncie el Teorema del Valor Intermedio y justifique.
6. Sea \(f(x)=3x^2-x\). [16 pts.] a) (8 pts.) Use la definición de la derivada (límite) para hallar \(f'(a)\). b) (8 pts.) Halle la ecuación de la recta tangente a f en \(x=2\).
7. (8 pts.) Determine si \(f(x)=(x-1)^{2/3}\) es diferenciable en \(x=1\). Justifique usando la definición o la derivada.
8. Halle la derivada: [18 pts.] a) (4 pts.) \(y=7x^3+2x\) b) (4 pts.) \(y=5e^x\) c) (4 pts.) \(y=3\sqrt{x}-\dfrac1x\) d) (6 pts.) \(y=2x^4-6x^2+9x-1\). Halle \(y''\).
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
Aquí se acumulan las herramientas de derivación que se combinan constantemente en el resto del curso — del segundo examen parcial real en adelante, casi todo problema usa alguna de estas reglas.
Cuando una función se escribe como el producto \( f(x)\,g(x) \) de dos funciones más simples, su derivada NO es simplemente \( f'(x)g'(x) \); en su lugar se usa la regla del producto: \( (fg)'=f'g+fg' \). De manera similar, para un cociente \( f(x)/g(x) \) se usa la regla del cociente: \( \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2} \), con \( g(x)\neq 0 \). Estas dos reglas se combinan constantemente con las demás reglas de derivación (potencia, cadena, trigonométricas) para derivar expresiones más complejas. Un error común es olvidar el signo negativo en la regla del cociente o confundir el orden de los términos; conviene memorizar bien la fórmula.
Ejemplo: Deriva \( f(x)=(2x+1)(x^2-3) \) usando la regla del producto.
\[ f'(x) = (2x+1)'(x^2-3) + (2x+1)(x^2-3)' = 2(x^2-3)+(2x+1)(2x) \]
\[ = 2x^2-6+4x^2+2x = 6x^2+2x-6 \]
Ahora deriva \( g(x)=\dfrac{x^2+1}{x-2} \) usando la regla del cociente.
\[ g'(x)=\frac{(x^2+1)'(x-2)-(x^2+1)(x-2)'}{(x-2)^2}=\frac{2x(x-2)-(x^2+1)(1)}{(x-2)^2} \]
\[ =\frac{2x^2-4x-x^2-1}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2} \]
1. Deriva \( h(x)=(3x-1)(x^2+4x) \) usando la regla del producto.
2. Deriva \( k(x)=\dfrac{x^2-5}{2x+3} \) usando la regla del cociente.
Las tres derivadas trigonométricas básicas que debes memorizar son \( \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x \), \( \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x \) y \( \dfrac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x \). Estas fórmulas casi nunca aparecen solas: se combinan con la regla del producto o del cociente cuando la función trigonométrica está multiplicada o dividida por otra expresión en \( x \). Es importante recordar el signo negativo en la derivada del coseno, pues es la fuente más común de errores. A partir de esta sección, cualquier ejercicio de derivación puede incluir una función trigonométrica como parte de una expresión más grande.
Ejemplo: Deriva \( h(x)=x^2\tan x \) usando la regla del producto.
\[ h'(x) = (x^2)'\tan x + x^2(\tan x)' = 2x\tan x + x^2\sec^2 x \]
1. Deriva \( f(x)=x^2\cos x \) usando la regla del producto.
2. Deriva \( g(x)=\dfrac{\sin x}{x+1} \) usando la regla del cociente.
La regla de la cadena permite derivar funciones compuestas \( f(g(x)) \): se deriva la función externa evaluada en la interna, y se multiplica por la derivada de la interna, es decir \( \dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x) \). Es la regla más usada del curso porque casi toda función "complicada" es, en el fondo, una composición: una potencia de una expresión, un seno de una expresión, etc. La estrategia práctica es identificar primero la función de afuera hacia adentro y derivar capa por capa. Con práctica, la regla de la cadena se combina naturalmente con las reglas del producto, cociente y trigonométricas.
Ejemplo: Deriva \( y=(x^2+3x)^4 \).
\[ y' = 4(x^2+3x)^3\cdot(x^2+3x)' = 4(x^2+3x)^3(2x+3) \]
Ahora deriva \( y=\cos(5x^2) \).
\[ y' = -\sin(5x^2)\cdot(5x^2)' = -\sin(5x^2)\cdot 10x = -10x\sin(5x^2) \]
1. Deriva \( y=(2x^3-x)^4 \) usando la regla de la cadena.
2. Deriva \( y=\sin(3x^2+2x) \) usando la regla de la cadena.
Cuando una ecuación relaciona \( x \) y \( y \) sin despejar \( y \) explícitamente (por ejemplo \( x^2+xy+y^2=7 \)), se puede hallar \( \dfrac{dy}{dx} \) derivando ambos lados de la ecuación respecto a \( x \), tratando a \( y \) como una función de \( x \). Cada vez que se deriva un término con \( y \), se aplica la regla de la cadena y se multiplica por \( y' \); si el término tiene \( x \) y \( y \) multiplicados, además se necesita la regla del producto. Después de derivar toda la ecuación, se agrupan los términos con \( y' \), se factoriza y se despeja \( y' \) algebraicamente. Esta técnica es esencial cuando resulta imposible o muy incómodo despejar \( y \) en función de \( x \).
Ejemplo: Encuentra \( y' \) si \( x^2y+y^3=x+5 \).
Derivando ambos lados respecto a \( x \):
\[ 2xy + x^2y' + 3y^2y' = 1 \]
Agrupando los términos con \( y' \):
\[ y'(x^2+3y^2) = 1-2xy \quad\Rightarrow\quad y'=\frac{1-2xy}{x^2+3y^2} \]
1. Encuentra \( y' \) si \( x^2+xy+y^2=7 \).
2. Encuentra \( y' \) si \( \sin(y)+x^2y=3x \).
La derivada básica del logaritmo natural es \( \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} \), y combinada con la regla de la cadena se obtiene \( \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u} \) para cualquier función \( u=u(x) \). Cuando la variable \( x \) aparece tanto en la base como en el exponente, como en \( f(x)^{g(x)} \), no se puede usar directamente la regla de la potencia ni la exponencial; en su lugar se usa diferenciación logarítmica: se toma \( \ln \) en ambos lados, se simplifica con propiedades de logaritmos, se deriva implícitamente y finalmente se despeja \( y' \) multiplicando por \( y \). Esta técnica convierte un problema de exponente variable en uno de producto, mucho más manejable. Recuerda que al final siempre hay que sustituir \( y \) de vuelta por la expresión original.
Ejemplo: Deriva \( y=x^{x} \) usando diferenciación logarítmica.
Tomando \( \ln \) en ambos lados: \( \ln y = x\ln x \).
Derivando implícitamente:
\[ \frac{1}{y}y' = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1 \]
Despejando \( y' \):
\[ y' = y(\ln x+1) = x^{x}(\ln x+1) \]
1. Deriva \( f(x)=\ln(5x^2-x) \).
2. Deriva \( y=x^{2x+1} \) usando diferenciación logarítmica.
La derivada \( f'(x) \) mide la razón de cambio instantánea de \( f \) respecto a \( x \), y esta interpretación aplica a cualquier contexto, no solo a la geometría de la recta tangente. En física, si \( s(t) \) describe la posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces \( v(t)=s'(t) \) es su velocidad y \( a(t)=v'(t)=s''(t) \) es su aceleración; el objeto está en reposo momentáneo cuando \( v(t)=0 \). En economía y otras ciencias sociales, la derivada de una función de costo, ingreso o población se interpreta como una razón de cambio marginal, por ejemplo el costo aproximado de producir una unidad adicional. En todos los casos, el procedimiento es el mismo: se deriva la función y se interpreta el resultado en las unidades apropiadas del problema.
Ejemplo: Un objeto se mueve en línea recta con posición \( s(t)=t^3-6t^2+9t \) (metros), \( t\geq0 \) en segundos. Encuentra la velocidad y la aceleración en \( t=1 \).
\[ v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9 \qquad a(t)=v'(t)=6t-12 \]
\[ v(1)=3(1)^2-12(1)+9=0 \qquad a(1)=6(1)-12=-6\ \text{m/s}^2 \]
Como \( v(1)=0 \), el objeto está momentáneamente en reposo en \( t=1 \).
1. Un objeto se mueve en línea recta según \( s(t)=t^3-9t^2+24t \) (metros), con \( t \) en segundos. Encuentra la velocidad \( v(t) \).
2. El costo de producir \( x \) unidades de cierto artículo es \( C(x)=0.5x^2+20x+100 \) (dólares). Encuentra el costo marginal \( C'(x) \).
1. Halle la derivada, simplificando: [25 pts.] a) (5 pts.) \(y=\dfrac{2x-3}{x+1}\) b) (5 pts.) \(y=x^2\cos(4x)\) c) (5 pts.) \(y=(5x-2)^4\) d) (5 pts.) \(y=\sin(3x^2+1)\) e) (5 pts.) \(y=\ln(x^2+3x)\)
2. Resuelva: [24 pts.] a) (6 pts.) Halle \(y'\) por diferenciación implícita: \(x^2y+y^3=9\). b) (6 pts.) Halle el punto donde la recta tangente a \(y=e^{2x}\) es paralela a la recta \(4x-y=1\). c) (6 pts.) Sea \(h(x)=x^3f(x)\), con \(f(2)=5\) y \(f'(2)=-3\). Halle \(h'(2)\). d) (6 pts.) Halle los valores de \(x\) en \((0,2\pi)\) donde la tangente a \(y=2\sin x+\cos x\) es horizontal.
3. Diferenciación implícita: [24 pts.] a) (12 pts.) Halle \(y'\): \(x^3+y^3=6xy\). b) (12 pts.) Halle la pendiente de la recta tangente a \(x^2+xy+y^2=7\) en el punto \((1,2)\).
4. Diferenciación logarítmica: [16 pts.] a) (8 pts.) \(y=x^{3x}\) b) (8 pts.) \(y=(2x+1)^{\cos x}\)
5. Un objeto se mueve según \(s(t)=2t^3-15t^2+24t\) (pies). [16 pts.] a) (6 pts.) Halle \(v(t)\) y determine cuándo el objeto se mueve a la derecha y cuándo a la izquierda. b) (5 pts.) Halle la aceleración en \(t=2\). c) (5 pts.) ¿En qué instante(s) del intervalo \([0,3]\) está el objeto en reposo?
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
Con las reglas de derivación ya dominadas, esta sección cubre cómo usar la derivada para resolver problemas reales: desde razones relacionadas hasta optimización — el contenido real del tercer examen parcial.
En un problema de razones afines, dos o más cantidades varían con el tiempo y están relacionadas mediante una ecuación; al derivar ambos lados respecto a \( t \) con la regla de la cadena obtenemos una ecuación que conecta sus razones de cambio, como \( \frac{dx}{dt} \) y \( \frac{dy}{dt} \). El procedimiento estándar es: dibuja un diagrama y nombra las variables, escribe la ecuación que relaciona las cantidades en cualquier instante, deriva implícitamente respecto a \( t \), y solo entonces sustituye los valores numéricos del instante particular que interesa. Sustituir demasiado pronto (antes de derivar) es el error más común en este tipo de problemas.
Ejemplo: Una escalera de 13 pies de largo está apoyada contra una pared vertical. La base se desliza alejándose de la pared a razón de 2 pies/s. ¿A qué razón desciende la parte superior cuando la base está a 5 pies de la pared?
Sea \( x \) la distancia de la base a la pared y \( y \) la altura del punto de contacto con la pared, de modo que \( x^2+y^2=169 \). Derivando ambos lados respecto a \( t \): \[ 2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \] Cuando \( x=5 \), se tiene \( y=\sqrt{169-25}=12 \). Sustituyendo \( \frac{dx}{dt}=2 \): \[ 2(5)(2)+2(12)\frac{dy}{dt}=0 \ \Rightarrow\ \frac{dy}{dt}=-\frac{5}{6} \] La parte superior desciende a razón de \( \frac{5}{6} \) pies/s (el signo negativo confirma que \( y \) disminuye).
1. El volumen de un cubo aumenta a razón de \( 12\text{ cm}^3/\text{s} \). Calcula \( \dfrac{ds}{dt} \) en el instante en que la arista mide \( 2 \) cm.
2. El radio de una mancha circular de aceite aumenta a razón de \( 3 \) m/min. Calcula \( \dfrac{dA}{dt} \) en el instante en que el radio mide \( 10 \) m.
La aproximación lineal usa la recta tangente a \( f \) en \( x=a \) para estimar valores de \( f \) cerca de \( a \): \( L(x) = f(a) + f'(a)(x-a) \). Como la tangente se pega muy bien a la curva cerca del punto de tangencia, \( L(x) \) da una buena estimación de \( f(x) \) para \( x \) cercano a \( a \), sin necesidad de calculadora. La diferencial \( dy = f'(x)\,dx \) formaliza la misma idea: si \( dx \) es un cambio pequeño en \( x \), entonces \( dy \) aproxima el cambio real \( \Delta y = f(x+dx)-f(x) \). Esta herramienta se usa mucho para estimar el error propagado en un cálculo a partir del error de una medición.
Ejemplo: Usa la linealización para aproximar \( \sqrt{66} \).
Tomamos \( f(x)=\sqrt{x} \) y \( a=64 \), ya que \( \sqrt{64}=8 \) es fácil de calcular y \( 66 \) está cerca de \( 64 \). Como \( f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \), tenemos \( f'(64)=\dfrac{1}{16} \), así que \[ L(x)=8+\frac{1}{16}(x-64) \] Evaluando en \( x=66 \): \( L(66)=8+\frac{1}{16}(2)=8.125 \). Por lo tanto \( \sqrt{66}\approx 8.125 \) (el valor real es aproximadamente \( 8.124 \), muy cercano).
1. Usa la linealización de \( f(x)=x^{1/3} \) en \( a=8 \) para aproximar \( \sqrt[3]{8.06} \).
2. El lado de un cubo se mide como \( 10 \) cm, con un posible error de medición de \( 0.1 \) cm. Usa diferenciales para estimar el error propagado \( dV \) en el volumen calculado.
Un número crítico de \( f \) es un valor \( c \) en el dominio donde \( f'(c)=0 \) o \( f'(c) \) no existe; el Teorema de Fermat garantiza que todo extremo local ocurre en un número crítico. Para hallar los extremos absolutos de \( f \) en un intervalo cerrado \( [a,b] \) se usa el método del intervalo cerrado: se localizan los números críticos dentro de \( (a,b) \), se evalúa \( f \) en ellos y en los extremos \( a \) y \( b \), y el mayor de esos valores es el máximo absoluto mientras que el menor es el mínimo absoluto. Este método funciona porque una función continua en un intervalo cerrado siempre alcanza un máximo y un mínimo absolutos.
Ejemplo: Halla los valores máximo y mínimo absolutos de \( f(x)=x^3-3x+1 \) en \( [-2,3] \).
\( f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1) \), así que los números críticos son \( x=1 \) y \( x=-1 \), ambos dentro de \( (-2,3) \). Evaluamos \( f \) en los críticos y en los extremos: \[ f(-2)=-1,\quad f(-1)=3,\quad f(1)=-1,\quad f(3)=19 \] El máximo absoluto es \( 19 \) en \( x=3 \), y el mínimo absoluto es \( -1 \), alcanzado tanto en \( x=-2 \) como en \( x=1 \).
1. Halla los valores máximo y mínimo absolutos de \( f(x)=x^3-6x^2+9x+2 \) en \( [0,5] \) usando el método del intervalo cerrado.
2. Halla los extremos absolutos de \( f(x)=x^{2/3} \) en \( [-1,8] \). (Recuerda que \( f'(x) \) no existe en \( x=0 \).)
El Teorema de Rolle dice que si \( f \) es continua en \( [a,b] \), derivable en \( (a,b) \) y \( f(a)=f(b) \), entonces existe al menos un \( c \) en \( (a,b) \) con \( f'(c)=0 \). El Teorema del Valor Medio generaliza esta idea sin requerir \( f(a)=f(b) \): bajo las mismas condiciones de continuidad y derivabilidad, existe \( c \) en \( (a,b) \) tal que \( f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \). Geométricamente, esto significa que en algún punto la recta tangente es paralela a la recta secante que une \( (a,f(a)) \) con \( (b,f(b)) \).
Ejemplo: Verifica el Teorema del Valor Medio para \( f(x)=x^2-4x+3 \) en \( [1,4] \) y halla el valor de \( c \).
\( f \) es un polinomio, así que es continua y derivable en todo \( \mathbb{R} \); se cumplen las hipótesis. La pendiente de la secante es \[ \frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{3-0}{3}=1 \] Como \( f'(x)=2x-4 \), buscamos \( c \) con \( 2c-4=1 \), es decir \( c=\dfrac{5}{2}=2.5 \), que sí está en \( (1,4) \).
1. Para \( f(x)=x^3 \) en \( [0,3] \), encuentra el valor de \( c \) que garantiza el Teorema del Valor Medio.
2. Para \( f(x)=\sqrt{x} \) en \( [1,9] \), encuentra el valor de \( c \) que garantiza el Teorema del Valor Medio.
El signo de \( f' \) determina la forma de la gráfica: si \( f'(x)>0 \) en un intervalo, \( f \) es creciente ahí; si \( f'(x) \lt 0 \), \( f \) es decreciente. El Criterio de la Primera Derivada clasifica un número crítico según el cambio de signo de \( f' \) a su alrededor: de positivo a negativo indica un máximo local, de negativo a positivo un mínimo local. La segunda derivada describe la concavidad: \( f''(x)>0 \) indica cóncava hacia arriba y \( f''(x) \lt 0 \) cóncava hacia abajo; un punto de inflexión ocurre donde la concavidad cambia. El Criterio de la Segunda Derivada ofrece un atajo: si \( f''(c)>0 \) hay un mínimo local en \( c \), si \( f''(c) \lt 0 \) hay un máximo local, y si \( f''(c)=0 \) el criterio no decide nada.
Ejemplo: Analiza \( f(x)=x^3-3x^2 \): extremos locales, concavidad y punto de inflexión.
\( f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2) \), críticos en \( x=0 \) y \( x=2 \). Como \( f''(x)=6x-6 \): \( f''(0)=-6\lt0 \) da un máximo local en \( x=0 \) con \( f(0)=0 \); \( f''(2)=6>0 \) da un mínimo local en \( x=2 \) con \( f(2)=-4 \). Igualando \( f''(x)=0 \) obtenemos \( x=1 \): la concavidad cambia ahí (cóncava hacia abajo antes, hacia arriba después), y como \( f(1)=-2 \), el punto de inflexión es \( (1,-2) \).
1. Para \( f(x)=2x^3-3x^2-12x+5 \), encuentra la coordenada \( x \) del punto de inflexión.
2. Para \( f(x)=x^4-8x^2+3 \), usa el criterio de la segunda derivada para hallar la coordenada \( x \) del máximo local.
Cuando al sustituir directamente obtenemos una forma como \( \frac{0}{0} \) o \( \frac{\infty}{\infty} \), decimos que el límite es una forma indeterminada: no podemos concluir su valor sin trabajo adicional. La Regla de L'Hôpital dice que si \( \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} \) tiene una de esas formas (y se cumplen las hipótesis de derivabilidad), entonces \( \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \), siempre que este último límite exista. Si al derivar seguimos obteniendo una forma indeterminada, la regla se puede aplicar nuevamente. Es esencial verificar que la forma sea realmente indeterminada antes de aplicar la regla; de lo contrario el resultado no es válido.
Ejemplo: Calcula \( \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x} \).
Sustituyendo \( x=0 \) obtenemos \( \frac{0}{0} \), una forma indeterminada. Aplicando L'Hôpital, derivamos numerador y denominador por separado: \[ \lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{3\cos(3x)}{1} = 3\cos(0)=3 \]
1. Calcula \( \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x} \) usando la Regla de L'Hôpital.
2. Calcula \( \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} \) usando la Regla de L'Hôpital.
Un bosquejo completo de una curva combina toda la información que hemos acumulado: dominio, simetría (par, impar o ninguna), intercectos, asíntotas verticales (donde \( f \) no está definida pero un límite lateral es infinito) y asíntotas horizontales u oblicuas (el comportamiento cuando \( x\to\pm\infty \)). A partir de \( f' \) determinamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos locales; a partir de \( f'' \) determinamos la concavidad y los puntos de inflexión. Con toda esa información organizada, podemos bosquejar una gráfica que respete cada una de esas características sin necesidad de graficar punto por punto.
Ejemplo: Analiza \( f(x)=x+\dfrac{1}{x} \) para bosquejar su gráfica.
Dominio: \( x\neq0 \), con asíntota vertical en \( x=0 \). Como \( f(-x)=-f(x) \), la función es impar (simétrica respecto al origen). Cuando \( x\to\pm\infty \), el término \( 1/x\to0 \), así que \( f(x)\approx x \): hay una asíntota oblicua \( y=x \). Derivando, \( f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2} \), que se anula en \( x=\pm1 \); un análisis de signo muestra un máximo local en \( x=-1 \) (\( f(-1)=-2 \)) y un mínimo local en \( x=1 \) (\( f(1)=2 \)). Además \( f''(x)=\dfrac{2}{x^3} \), negativa para \( x\lt0 \) (cóncava hacia abajo) y positiva para \( x>0 \) (cóncava hacia arriba), sin punto de inflexión porque \( x=0 \) no está en el dominio.
1. Para \( f(x)=x^3-3x \), indica las coordenadas \( (x,y) \) del punto de inflexión.
2. Determina las asíntotas verticales y la asíntota horizontal de \( f(x)=\dfrac{1}{x^2-1} \).
Un problema de optimización pide maximizar o minimizar alguna cantidad (área, volumen, costo, etc.) sujeta a una restricción. El procedimiento es: dibuja un diagrama y asigna variables, escribe la función objetivo (la cantidad a optimizar) y la ecuación de restricción, usa la restricción para escribir la función objetivo en términos de una sola variable, y determina el dominio físico permitido para esa variable. Luego encuentra los números críticos derivando e igualando a cero, y usa el criterio de la primera o segunda derivada (o el método del intervalo cerrado) para confirmar que se trata realmente de un máximo o un mínimo, no solo de un número crítico cualquiera.
Ejemplo: Un agricultor tiene 200 m de cerca para encerrar un terreno rectangular junto a un río recto (el lado del río no necesita cerca). ¿Qué dimensiones maximizan el área?
Sea \( x \) el largo de los dos lados perpendiculares al río, y \( y \) el lado paralelo al río. La restricción es \( 2x+y=200 \), así que \( y=200-2x \). El área es \[ A(x)=xy=x(200-2x)=200x-2x^2, \qquad 0\lt x\lt100 \] Derivando, \( A'(x)=200-4x \); igualando a cero, \( x=50 \). Como \( A''(x)=-4\lt0 \), confirma un máximo. Con \( x=50 \), \( y=200-100=100 \), y el área máxima es \( A=50\cdot100=5000 \) m².
1. Se desea construir una caja rectangular con base cuadrada y sin tapa, con un volumen de \( 500 \) cm³. Halla el lado de la base que minimiza el área total de material usado.
2. Se quiere construir un envase cilíndrico cerrado (con tapa y fondo) con un volumen de \( 54\pi \) cm³. Halla el radio que minimiza el área de superficie total.
1. (14 pts.) Un tanque cónico invertido (vértice hacia abajo) tiene radio 3 pies y altura 9 pies. Se le bombea agua a razón de 8 pies³/min. Halle la rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 6 pies.
2. (10 pts.) Use linealización para aproximar \(\sqrt{50}\), usando \(f(x)=\sqrt x\) y \(a=49\).
3. (16 pts.) Sea \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+5\). Halle los números críticos y clasifíquelos como máximo o mínimo local (use el criterio de la segunda derivada).
4. (16 pts.) Para la misma función \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+5\), halle los puntos de inflexión y determine los intervalos de concavidad.
5. (10 pts.) Usando la información de las partes 3 y 4, bosqueje la gráfica de \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+5\), indicando números críticos, extremos, punto de inflexión y concavidad.
6. Un granjero quiere cercar un corral rectangular junto a un río recto (no necesita cerca en el lado del río), con un área de 800 pies². [20 pts.] a) (5 pts.) Exprese la cerca total \(L\) en términos de una sola variable. b) (6 pts.) Halle \(L'\) y los números críticos. c) (5 pts.) Determine las dimensiones que minimizan la cerca usada. d) (4 pts.) Verifique que es un mínimo usando el criterio de la segunda derivada.
7. (10 pts.) Verifique que \(f(x)=x^3-x\) satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio en \([0,2]\), y halle el valor de \(c\) que satisface la conclusión del teorema.
8. Evalúe usando la Regla de L'Hôpital: [10 pts.] a) (5 pts.) \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{5x}\) b) (5 pts.) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}\)
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
El curso da un giro: en vez de derivar, ahora se busca revertir el proceso. Esta sección (contenido real del cuarto examen parcial) introduce la integral desde sus fundamentos.
Cuando una ecuación \( f(x) = 0 \) no se puede resolver algebraicamente, el método de Newton ofrece una manera de aproximar sus raíces usando derivadas. La idea es geométrica: se traza la recta tangente a \( f \) en el punto \( x_n \) y se usa el corte de esa tangente con el eje \( x \) como la siguiente aproximación, \( x_{n+1} \). Esto genera la fórmula iterativa \( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \), que se repite hasta que las aproximaciones sucesivas casi no cambian. El método suele converger muy rápido cuando \( x_0 \) está cerca de la raíz real, pero puede fallar si \( f'(x_n) = 0 \) o si el punto inicial está muy lejos de la raíz.
Ejemplo: Aproximemos \( \sqrt{2} \) usando \( f(x) = x^2 - 2 \) (cuya raíz positiva es \( \sqrt{2} \)) con \( x_0 = 1 \). Como \( f'(x) = 2x \):
\[ x_1 = 1 - \frac{f(1)}{f'(1)} = 1 - \frac{-1}{2} = 1.5 \]
\[ x_2 = 1.5 - \frac{f(1.5)}{f'(1.5)} = 1.5 - \frac{0.25}{3} \approx 1.416667 \]
\[ x_3 = 1.416667 - \frac{f(1.416667)}{f'(1.416667)} \approx 1.414216 \]
Nótese que \( x_3 \) ya coincide con \( \sqrt{2} \approx 1.414214 \) hasta la cuarta cifra decimal.
1. Sea \( f(x) = x^3 - 5 \). Usa el método de Newton con \( x_0 = 2 \) para calcular \( x_1 \).
2. Sea \( f(x) = x^2 - 10 \). Usa el método de Newton con \( x_0 = 3 \) para calcular \( x_1 \) (una aproximación a \( \sqrt{10} \)).
Una antiderivada de \( f \) es una función \( F \) tal que \( F'(x) = f(x) \). Como la derivada de una constante es cero, si \( F \) es una antiderivada de \( f \), entonces \( F(x)+C \) también lo es para cualquier constante \( C \); a esta familia se le llama la antiderivada general. La regla de la potencia para integrar establece que \( \displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \) siempre que \( n \neq -1 \). Encontrar antiderivadas es exactamente el proceso inverso de derivar, así que cada regla de derivación (suma, múltiplo constante) se puede leer "al revés".
Ejemplo: Halla la antiderivada general de \( f(x) = 3x^2-4x+5 \). Aplicando la regla de la potencia término a término:
\[ F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + C \]
Se puede verificar derivando: \( F'(x) = 3x^2-4x+5 = f(x) \), que efectivamente coincide con la función original.
1. Encuentra la antiderivada general de \( f(x) = 4x^3-6x+2 \).
2. Encuentra \( F(x) \) tal que \( F'(x) = 6x^2+2x-1 \) y \( F(1)=5 \).
Para calcular el área bajo una curva \( y=f(x) \) en un intervalo \( [a,b] \), la dividimos en \( n \) subintervalos de igual ancho \( \Delta x = \dfrac{b-a}{n} \) y aproximamos el área con rectángulos. Si la altura de cada rectángulo se toma con el valor de \( f \) en el extremo derecho del subintervalo obtenemos la suma \( R_n = \sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x \); si se usa el extremo izquierdo, obtenemos \( L_n \). Estas sumas se llaman sumas de Riemann, y entre más subintervalos usemos (mayor \( n \)), mejor será la aproximación al área real. Cuando \( f \) es creciente, \( R_n \) sobreestima el área y \( L_n \) la subestima; lo opuesto ocurre si \( f \) es decreciente.
Ejemplo: Aproxima el área bajo \( f(x)=x^2 \) en \( [0,4] \) usando \( n=4 \) rectángulos con extremo derecho. Aquí \( \Delta x = 1 \) y los extremos derechos son \( 1,2,3,4 \):
\[ R_4 = 1\cdot\big(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)\big) = 1\cdot(1+4+9+16) = 30 \]
Como \( f \) es creciente en \( [0,4] \), este valor sobreestima el área real (que es \( \tfrac{64}{3}\approx 21.33 \)).
1. Usa la suma de Riemann con extremo derecho y \( n=4 \) subintervalos para aproximar el área bajo \( f(x)=x^2+1 \) en \( [0,4] \).
2. Usa la suma de Riemann con extremo izquierdo y \( n=4 \) subintervalos para aproximar el área bajo \( f(x)=x^2 \) en \( [0,4] \).
La integral definida \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \) se define formalmente como el límite de una suma de Riemann cuando el número de subintervalos \( n \) tiende a infinito: \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x \). Este número representa el área neta entre la curva y el eje \( x \) (contando como negativa el área bajo el eje). La integral definida cumple propiedades básicas útiles: es aditiva sobre intervalos, \( \displaystyle\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx \); además, invertir los límites cambia el signo, \( \displaystyle\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx \), y \( \displaystyle\int_a^a f\,dx = 0 \).
Ejemplo: Si \( \displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 5 \) y \( \displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx = 3 \), halla \( \displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx \). Por la propiedad de aditividad:
\[ \int_0^5 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^5 f(x)\,dx = 5+3 = 8 \]
1. Si \( \displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx = 7 \) y \( \displaystyle\int_4^6 f(x)\,dx = -2 \), calcula \( \displaystyle\int_1^6 f(x)\,dx \).
2. Si \( \displaystyle\int_0^3 g(x)\,dx = 10 \), calcula \( \displaystyle\int_3^0 g(x)\,dx \).
El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la derivación y la integración, y tiene dos partes. La Parte 1 dice que si \( g(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt \), entonces \( g'(x) = f(x) \); es decir, derivar una integral con límite superior variable simplemente devuelve la función original evaluada en \( x \) (y si el límite superior es una función \( u(x) \), se multiplica además por \( u'(x) \), usando la regla de la cadena). La Parte 2 dice que si \( F \) es cualquier antiderivada de \( f \), entonces \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) \), lo cual convierte el cálculo de integrales definidas en un simple proceso de evaluar antiderivadas. Juntas, estas dos partes muestran que integración y derivación son procesos inversos.
Ejemplo (Parte 1): Sea \( g(x) = \displaystyle\int_1^{x^2} \sqrt{t+1}\,dt \). Por la Parte 1 junto con la regla de la cadena:
\[ g'(x) = \sqrt{x^2+1}\cdot (2x) \]
Ejemplo (Parte 2): Evalúa \( \displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx \). Una antiderivada es \( F(x)=x^2+x \), así que:
\[ \int_1^3 (2x+1)\,dx = F(3)-F(1) = (9+3)-(1+1) = 10 \]
1. Sea \( g(x) = \displaystyle\int_2^x (3t^2-4)\,dt \). Encuentra \( g'(x) \).
2. Evalúa \( \displaystyle\int_0^2 (3x^2+1)\,dx \) usando el Teorema Fundamental del Cálculo.
La notación \( \displaystyle\int f(x)\,dx = F(x)+C \) se llama integral indefinida y representa la familia completa de antiderivadas de \( f \). Existe una tabla básica de integrales que conviene memorizar: \( \displaystyle\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \) (\( n\neq-1 \)), \( \displaystyle\int \sin x\,dx=-\cos x+C \), \( \displaystyle\int \cos x\,dx=\sin x+C \), \( \displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C \), y \( \displaystyle\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C \). El teorema del cambio neto aplica estas ideas a problemas de movimiento: si \( v(t) \) es la velocidad de un objeto, entonces \( \displaystyle\int_a^b v(t)\,dt = s(b)-s(a) \), es decir, la integral de la velocidad da el desplazamiento total entre los tiempos \( a \) y \( b \).
Ejemplo: Evalúa \( \displaystyle\int (4x^3-2\sin x+3)\,dx \). Integrando término a término:
\[ \int (4x^3-2\sin x+3)\,dx = x^4+2\cos x+3x+C \]
Ahora, con el teorema del cambio neto: si la velocidad de una partícula es \( v(t)=3t^2-2t \) (m/s), el desplazamiento entre \( t=1 \) y \( t=4 \) es:
\[ \int_1^4 (3t^2-2t)\,dt = \big[t^3-t^2\big]_1^4 = (64-16)-(1-1) = 48 \text{ m} \]
1. Evalúa la integral indefinida \( \displaystyle\int (5x^4+6x-7)\,dx \).
2. La velocidad de una partícula está dada por \( v(t)=4t-3 \) (m/s). Usa el teorema del cambio neto para hallar el desplazamiento entre \( t=0 \) y \( t=3 \).
1. (14 pts.) Utilice el método de Newton, comenzando con \(x_1=2\), para aproximar \(\sqrt[3]{7}\) usando \(f(x)=x^3-7\). Calcule \(x_2\) y \(x_3\).
2. Evalúe las siguientes integrales indefinidas: [20 pts.] a) (4 pts.) \(\displaystyle\int(6x^2-4x+3)\,dx\) b) (4 pts.) \(\displaystyle\int\sin(2x)\,dx\) c) (4 pts.) \(\displaystyle\int\dfrac{x^2+2}{x}\,dx\) d) (4 pts.) \(\displaystyle\int 4e^{2x}\,dx\) e) (4 pts.) \(\displaystyle\int(3\sqrt x-2)\,dx\)
3. Considere \(\displaystyle\int_0^4(x^2+2)\,dx\). [24 pts.] a) (4 pts.) Exprese esta integral como un límite de una suma de Riemann usando el extremo derecho. b) (6 pts.) Use la regla del extremo izquierdo con 4 subintervalos para aproximar la integral. c) (14 pts.) Evalúe la integral usando la definición (límite de la suma de Riemann).
4. Sea \(F(x)=\displaystyle\int_3^x\sqrt{t^2+2}\,dt\). [16 pts.] a) (4 pts.) Halle \(F'(x)\). b) (3 pts.) Halle \(F'(3)\). c) (4 pts.) Halle \(F''(x)\). d) (5 pts.) Sea \(g(x)=\displaystyle\int_{x^2}^{6}\sqrt{t^2+2}\,dt\). Halle \(g'(x)\).
5. (12 pts.) Si \(\displaystyle\int_2^7 f(x)\,dx=20\), \(\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx=8\), y \(\displaystyle\int_7^9 f(x)\,dx=-4\), halle \(\displaystyle\int_5^9 f(x)\,dx\).
6. (8 pts.) La velocidad de un objeto está dada por \(v(t)=4t-3\) pies/seg. Si \(s(0)=6\) pies, halle \(s(t)\) y evalúe \(s(2)\).
7. (10 pts.) Halle el área bajo la curva \(y=6-x\) entre \(x=0\) y \(x=6\) usando geometría, y confirme el resultado evaluando la integral \(\displaystyle\int_0^6(6-x)\,dx\).
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
Esta sección solo se evalúa en el examen final (no tiene parcial propio) — es la culminación del curso: técnicas más avanzadas de integración y sus aplicaciones geométricas.
La regla de sustitución es la versión integral de la regla de la cadena: permite reescribir una integral complicada en términos de una nueva variable \( u \) cuando el integrando contiene una función compuesta \( f(g(x)) \) junto a su derivada interna \( g'(x) \). El procedimiento es elegir \( u=g(x) \), calcular \( du=g'(x)\,dx \), y sustituir en la integral original para obtener una expresión más simple en \( u \). En integrales indefinidas, al terminar de integrar en \( u \) hay que devolver el resultado a la variable original \( x \). En integrales definidas conviene además cambiar los límites de integración: si \( u=g(x) \), los nuevos límites son \( g(a) \) y \( g(b) \), y así se evalúa directamente en \( u \) sin regresar a \( x \).
Ejemplo: Evalúa \( \displaystyle\int_{1}^{2} 2x\sqrt{x^2+1}\,dx \) cambiando los límites de integración.
Sea \( u=x^2+1 \), entonces \( du=2x\,dx \). Cuando \( x=1 \), \( u=2 \); cuando \( x=2 \), \( u=5 \).
\[ \int_{1}^{2} 2x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int_{2}^{5}\sqrt{u}\,du = \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{2}^{5} = \frac{2}{3}\left(5\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right) \]
1. Calcula \( \displaystyle\int 3x^2(x^3+4)^5\,dx \).
2. Evalúa \( \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin(x)\cos^2(x)\,dx \) usando cambio de límites.
Para hallar el área de la región encerrada entre dos curvas \( y=f(x) \) y \( y=g(x) \) en un intervalo \( [a,b] \), donde \( f(x)\ge g(x) \), integramos la diferencia de las funciones: \( \displaystyle A=\int_a^b\left[f(x)-g(x)\right]dx \). Antes de integrar es necesario hallar los puntos de intersección resolviendo \( f(x)=g(x) \), para determinar los límites de integración y confirmar cuál función está por encima. Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, el área total se calcula partiendo la integral en cada subintervalo donde cambia la función superior, siempre restando la de abajo a la de arriba. En algunos casos conviene integrar respecto a \( y \) en lugar de \( x \), especialmente cuando las curvas se expresan de forma más natural como \( x=f(y) \).
Ejemplo: Halla el área de la región encerrada entre \( y=x+2 \) y \( y=x^2 \).
Intersecciones: \( x^2=x+2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1,\,2 \). En ese intervalo la recta está por encima de la parábola.
\[ A=\int_{-1}^{2}\left[(x+2)-x^2\right]dx=\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{9}{2} \]
1. Halla el área de la región encerrada entre \( y=4x \) y \( y=x^2 \).
2. Halla el área de la región encerrada entre \( y=x^3 \) y \( y=x \).
Cuando una región plana se rota alrededor de un eje, el sólido resultante puede rebanarse en discos o arandelas perpendiculares al eje de rotación, y su volumen es la integral de las áreas de esas rebanadas. Si la región toca el eje de rotación, cada rebanada es un disco de radio \( R(x) \) y el volumen es \( \displaystyle V=\pi\int_a^b\left[R(x)\right]^2dx \). Si hay un hueco entre la región y el eje (por ejemplo, el área entre dos curvas), cada rebanada es una arandela con radio exterior \( R(x) \) y radio interior \( r(x) \), y el volumen es \( \displaystyle V=\pi\int_a^b\left(\left[R(x)\right]^2-\left[r(x)\right]^2\right)dx \). En ambos casos es esencial identificar correctamente cuál función determina el radio exterior y cuál el interior según el eje de rotación dado.
Ejemplo: Halla el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región entre \( y=x \) y \( y=x^2 \) en \( [0,1] \).
En \( [0,1] \), \( x\ge x^2 \), así que el radio exterior es \( R(x)=x \) y el interior es \( r(x)=x^2 \).
\[ V=\pi\int_{0}^{1}\left(x^2-x^4\right)dx=\pi\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1}=\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{2\pi}{15} \]
1. Halla el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región bajo \( y=x^2 \) en \( [0,1] \) (método de discos).
2. Halla el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región entre \( y=\sqrt{x} \) y \( y=x^2 \) en \( [0,1] \) (método de arandelas).
El método de cascarones cilíndricos es una alternativa al de discos y arandelas, útil cuando integrar respecto a la variable perpendicular al eje de rotación resulta más simple. Cada cascarón es un cilindro delgado de radio \( x \) (la distancia al eje de rotación), altura \( h(x) \) (la altura de la región en ese punto) y grosor \( dx \); su volumen se aproxima por \( 2\pi x\,h(x)\,dx \). Sumando todos los cascarones desde \( x=a \) hasta \( x=b \), el volumen total al rotar alrededor del eje y es \( \displaystyle V=2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx \). Este método evita tener que despejar \( x \) en función de \( y \), lo cual puede simplificar considerablemente el cálculo.
Ejemplo: Halla el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región bajo \( y=x^2 \) en \( [0,2] \), usando cascarones cilíndricos.
El radio de cada cascarón es \( x \) y su altura es \( h(x)=x^2 \).
\[ V=2\pi\int_{0}^{2}x\cdot x^2\,dx=2\pi\int_{0}^{2}x^3\,dx=2\pi\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{2}=2\pi(4)=8\pi \]
1. Halla el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región bajo \( y=x^3 \) en \( [0,1] \), usando cascarones cilíndricos.
2. Halla el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región entre \( y=x \) y \( y=x^2 \) en \( [0,1] \), usando cascarones cilíndricos.
1. Límites: [12 pts.] a) (4 pts.) \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}\) b) (4 pts.) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{4x^2+3}}{x+1}\) c) (4 pts.) Demuestre usando la definición épsilon-delta que \(\displaystyle\lim_{x\to1}(6x-2)=4\).
2. Derivadas: [10 pts.] a) (5 pts.) Halle \(y'\) por diferenciación implícita: \(x^2+2xy=10\). b) (5 pts.) Halle \(y'\) por diferenciación logarítmica: \(y=x^{2x+1}\).
3. (12 pts.) Sea \(f(x)=x^3-12x\). Halle los números críticos y clasifíquelos usando el criterio de la segunda derivada.
4. (8 pts.) Utilice el método de Newton con \(x_1=3\) para aproximar \(\sqrt{10}\) usando \(f(x)=x^2-10\). Halle \(x_2\).
5. Sea \(F(x)=\displaystyle\int_0^x(t^3+1)\,dt\). [10 pts.] a) (4 pts.) Halle \(F'(x)\) y \(F'(2)\). b) (6 pts.) Evalúe \(F(2)\).
6. Evalúe usando sustitución: [16 pts.] a) (8 pts.) \(\displaystyle\int x^2(x^3+5)^4\,dx\) b) (8 pts.) \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sec^2(x)\tan^3(x)\,dx\) (incluya el cambio de límites)
7. (12 pts.) Halle el área de la región acotada por \(y=6x-x^2\) y \(y=x\).
8. (16 pts.) Considere la región acotada por \(y=x^2\) y \(y=2x\) (con \(x\ge0\)), rotada alrededor del eje X. Halle el volumen usando el método de arandelas.
9. (14 pts.) Considere la misma región del problema 8 (\(y=x^2\), \(y=2x\), \(x\ge0\)), ahora rotada alrededor del eje Y. Halle el volumen usando el método de cascarones cilíndricos.
Se acabó el tiempo. Así se siente un final real — revisa tus respuestas y repite cuando quieras.