A tu medida
Exponenciales, logaritmos, trigonometría, sistemas de ecuaciones y sucesiones. Las 27 secciones siguen el prontuario oficial de MATE 3172, con el mismo formato real que los exámenes de la UPRM.
¿No sabes por dónde empezar? Doce preguntas cortas y te digo tu nivel en cada bloque.
Entra en el PRIMER parcial, junto con la Sección 9. Confirmado en dos exámenes reales del primer parcial de MATE 3172.
Entra en el SEGUNDO parcial.
Lo básico entra en el SEGUNDO parcial; lo avanzado (ley de senos y cosenos) en el TERCERO.
Entra en el TERCER parcial.
Empieza en el TERCER parcial y se completa para el EXAMEN FINAL.
Entra en el PRIMER parcial, junto con la Sección 4.
Temario alineado con el de tu curso y contrastado con exámenes públicos de la UPRM. Las lecciones y los ejercicios son propios: Aureo no reproduce ni distribuye el material de tu profesor.
A tu medida
Las sesiones todavía no han empezado: no se ha dado ninguna. Cuando arranquen será una al mes, y no una clase genérica — el temario del día sale de lo que el grupo inscrito falla en este curso.
Tutoría 1 a 1 conmigo
Tu examen, tu tarea, o el tema que se te atragantó. Escríbeme contando qué necesitas y en qué andas; si encaja con mis horas de esa semana, cerramos una.
Soy estudiante de ingeniería en la UPRM y doy las tutorías en los huecos que mi propio semestre deja libres, así que las horas son limitadas y van por orden de llegada.
Práctica completa
Son exámenes originales de Aureo, con la agrupación de secciones y el puntaje de los parciales reales de MATE 3172. No son documentos del departamento. Si tu profesor agrupa las secciones de otra forma, usa Arma tu propio examen arriba.
El Departamento de Ciencias Matemáticas de la UPRM publica los exámenes de semestres pasados de MATE 3172: hay alrededor de 37 en su archivo. Son los documentos originales, tal como se dieron en el curso.
Ver el archivo oficial de la UPRMUna función exponencial tiene la forma \(f(x) = a^x\), donde \(a > 0\) y \(a \neq 1\). El dominio es todos los reales; si \(a \neq 1\), el rango es \((0, \infty)\). La gráfica siempre pasa por \((0,1)\) y tiene una asíntota horizontal — crece si \(a>1\), decrece si \(0 \lt a \lt 1\).
Ejemplo: Sea \(f(x) = 2^x\). \[ f(3) = 2^3 = 8 \qquad f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} \]
Ejemplo de transformación: \(g(x) = 3^x + 2\) es \(3^x\) desplazada 2 unidades hacia arriba — su asíntota horizontal pasa de \(y=0\) a \(y=2\).
1. Si \(f(x) = 2^x\), ¿cuánto es \(f(4)\)?
2. El rango de \(f(x) = 3^x\) es:
3. La asíntota horizontal de \(f(x) = 5^x - 3\) es:
El número \(e \approx 2.71828\) es la base de la función exponencial natural \(f(x)=e^x\). Aparece naturalmente en crecimiento continuo — por ejemplo, interés compuesto continuamente: \(A = Pe^{rt}\).
Ejemplo: \(f(x)=e^x\). \(f(0)=e^0=1\). \(f(1)=e^1 \approx 2.718\).
1. \(f(x)=e^x\), \(f(0)=\)
2. El número \(e\) es aproximadamente:
3. En \(A=Pe^{rt}\), si \(P=500\) y \(t=0\), ¿cuánto es \(A\)?
El logaritmo \(\log_b(x)\) es la función inversa de \(b^x\): responde "¿a qué exponente hay que elevar \(b\) para obtener \(x\)?". El dominio es \(x\gt0\). Siempre \(\log_b(b)=1\) y \(\log_b(1)=0\).
Ejemplo: \(\log_2(8)=3\), porque \(2^3=8\).
1. \(\log_3(9) = \)
2. \(\log_5(1) = \)
3. El dominio de \(f(x)=\log(x)\) es:
\[ \log(xy) = \log(x)+\log(y) \qquad \log\left(\frac{x}{y}\right) = \log(x)-\log(y) \qquad \log(x^n) = n\log(x) \]
Ejemplo: \(\log(6) = \log(2 \cdot 3) = \log(2)+\log(3)\). \(\log(x^5) = 5\log(x)\).
1. \(\log(xy) = \)
2. \(\log\left(\dfrac{x}{y}\right) = \)
3. \(\log(x^5) = \)
Para resolver una ecuación exponencial, aplica logaritmo a ambos lados. Para resolver una ecuación logarítmica, exponencia ambos lados.
Ejemplo exponencial: \(2^x=10 \Rightarrow x=\dfrac{\log(10)}{\log(2)} \approx 3.32\)
Ejemplo logarítmico: \(\log(x)=2 \Rightarrow x=10^2=100\)
1. Resuelve: \(3^x=9\)
2. Resuelve: \(\log(x)=3\)
3. Resuelve: \(2^{x+1}=16\)
Una sucesión es una lista ordenada de números \(a_1, a_2, a_3, \dots\), generada por una fórmula que depende de \(n\). El término general se escribe \(a_n\).
Ejemplo: Si \(a_n = 2n+1\), entonces \(a_1=3\), \(a_2=5\), \(a_3=7\).
Ejemplo recursivo: \(a_1=1\), \(a_n = a_{n-1}+3\) da \(1, 4, 7, 10, \dots\)
1. Si \(a_n=2n+1\), ¿cuánto es \(a_4\)?
2. Con \(a_1=1\), \(a_n=a_{n-1}+3\), ¿cuánto es \(a_3\)?
3. El término \(a_n\) de una sucesión se llama:
Una sucesión es aritmética si cada término se obtiene sumando una diferencia común \(d\) al anterior: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Ejemplo: \(a_1=3\), \(d=4\): \(3, 7, 11, 15, \dots\) El término \(a_{10} = 3+(10-1)(4) = 39\).
1. \(a_1=2\), \(d=3\). \(a_5=\)
2. En \(3, 7, 11, 15,\dots\), la diferencia común \(d\) es:
3. La fórmula del término general de una sucesión aritmética es:
Una sucesión es geométrica si cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón común \(r\): \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\). Una serie es la suma de los términos: \(S_n = \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}\) (si \(r \neq 1\)). Si \(|r| \lt 1\), la serie infinita converge a \(S_\infty = \dfrac{a_1}{1-r}\).
Ejemplo: \(a_1=2\), \(r=3\): \(2, 6, 18, 54, \dots\) \(a_5 = 2 \cdot 3^4 = 162\).
Ejemplo de serie infinita: \(a_1=1\), \(r=\frac{1}{2}\): \(S_\infty = \dfrac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2\).
1. \(a_1=5\), \(r=2\). \(a_4=\)
2. Una serie geométrica infinita converge solo si:
3. \(a_1=1\), \(r=\frac{1}{2}\). \(S_\infty=\)
Un ángulo se mide en grados o en radianes. Una vuelta completa son \(360°\) o \(2\pi\) radianes. Para convertir: \(\text{radianes} = \text{grados} \cdot \dfrac{\pi}{180}\).
Ejemplo: \(90° = 90 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{2}\) radianes.
Longitud de arco: \(s = r\theta\) (con \(\theta\) en radianes). Si \(r=4\) y \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\), entonces \(s = 4 \cdot \dfrac{\pi}{2} = 2\pi\).
1. \(180°\) en radianes es:
2. Una vuelta completa equivale a:
3. Si \(r=6\) y \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\), la longitud de arco \(s\) es:
En el círculo unitario (radio 1), un punto \((\cos\theta, \sin\theta)\) corresponde al ángulo \(\theta\). De ahí: \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\), y los recíprocos \(\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}\), \(\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}\), \(\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}\).
Ejemplo: En \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\), el punto es \((0,1)\), así que \(\cos\dfrac{\pi}{2}=0\) y \(\sin\dfrac{\pi}{2}=1\).
1. \(\cos(0) = \)
2. \(\tan\theta = \)
3. \(\csc\theta = \)
Identidad pitagórica: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\). Las funciones seno, coseno, cosecante y secante son pares o impares: \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\) (impar), \(\cos(-\theta)=\cos\theta\) (par). El signo de cada función depende del cuadrante.
Ejemplo: Si \(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\) y \(\theta\) está en el primer cuadrante, entonces \(\cos^2\theta = 1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), así que \(\cos\theta=\dfrac{4}{5}\).
1. \(\sin^2\theta+\cos^2\theta = \)
2. \(\cos(-\theta) = \)
3. En el segundo cuadrante, \(\sin\theta\) es:
Para \(y = A\sin(Bx-C)+D\): la amplitud es \(|A|\), el período es \(\dfrac{2\pi}{B}\), el desfase es \(\dfrac{C}{B}\), y \(D\) es el desplazamiento vertical.
Ejemplo: \(y=3\sin(2x)\) tiene amplitud \(3\) y período \(\dfrac{2\pi}{2}=\pi\).
1. La amplitud de \(y=4\cos(x)\) es:
2. El período de \(y=\sin(4x)\) es:
3. En \(y=\sin(x)+2\), el desplazamiento vertical es:
La tangente y cotangente tienen período \(\pi\). La tangente tiene asíntotas verticales donde \(\cos\theta=0\) (por ejemplo \(x=\dfrac{\pi}{2}\)). Secante y cosecante tienen asíntotas donde su recíproco (coseno o seno) es cero.
Ejemplo: \(y=\tan(x)\) tiene asíntotas en \(x=\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dots\)
1. El período de \(y=\tan(x)\) es:
2. \(y=\tan(x)\) tiene una asíntota vertical en:
3. \(y=\sec(x)\) tiene una asíntota vertical donde:
Como las funciones trigonométricas no son inyectivas, sus inversas se definen restringiendo el dominio: \(\arcsin(x)\) tiene rango \(\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\arccos(x)\) tiene rango \([0,\pi]\), \(\arctan(x)\) tiene rango \(\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\).
Ejemplo: \(\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{6}\), porque \(\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\) y \(\dfrac{\pi}{6}\) está en el rango permitido.
1. \(\arcsin(1) = \)
2. El rango de \(\arccos(x)\) es:
3. \(\arctan(0) = \)
En un triángulo rectángulo, con \(\theta\) uno de los ángulos agudos: \(\sin\theta = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\), \(\cos\theta = \dfrac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}\), \(\tan\theta = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\) (regla nemotécnica SOH-CAH-TOA).
Ejemplo: Un triángulo rectángulo con cateto opuesto \(3\) e hipotenusa \(5\): \(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\). Por Pitágoras, el cateto adyacente es \(4\), así que \(\cos\theta=\dfrac{4}{5}\) y \(\tan\theta=\dfrac{3}{4}\).
1. En un triángulo rectángulo, \(\sin\theta = \)
2. Cateto opuesto \(=3\), hipotenusa \(=5\). El cateto adyacente es:
3. Con cateto opuesto \(3\) y adyacente \(4\), \(\tan\theta = \)
Para cualquier triángulo (no solo rectángulos), con lados \(a,b,c\) opuestos a los ángulos \(A,B,C\): \[ \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \] Se usa cuando se conocen dos ángulos y un lado (AAL), o dos lados y un ángulo opuesto (LLA).
Ejemplo: Si \(A=30°\), \(B=45°\), \(a=10\): \(\dfrac{\sin 30°}{10}=\dfrac{\sin 45°}{b} \Rightarrow b = \dfrac{10\sin45°}{\sin30°} \approx 14.14\).
1. La ley de los senos se aplica a:
2. La ley de los senos establece que \(\dfrac{\sin A}{a} = \)
3. La ley de los senos es más útil cuando se conocen:
Se usa cuando se conocen los tres lados (LLL) o dos lados y el ángulo entre ellos (LAL): \[ c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C \]
Ejemplo: \(a=7\), \(b=9\), \(C=60°\): \(c^2 = 49+81-2(7)(9)\cos60° = 130-63=67\), así que \(c \approx 8.19\).
1. La ley de los cosenos establece que \(c^2 = \)
2. Si \(C=90°\), la ley de los cosenos se reduce a:
3. La ley de los cosenos es útil cuando se conocen:
Identidades recíprocas: \(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\), \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\), \(\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}\). Identidades de cociente: \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Identidad pitagórica: \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\), y sus variantes \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\), \(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\).
Ejemplo — probar una identidad: \(\sin\theta\cdot\cot\theta = \sin\theta\cdot\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cos\theta\).
1. \(\sin^2\theta+\cos^2\theta = \)
2. \(\sec\theta = \)
3. \(1+\tan^2\theta = \)
\[ \sin(A\pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B \qquad \cos(A\pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B \]
Ejemplo: \(\cos(75°) = \cos(45°+30°) = \cos45°\cos30°-\sin45°\sin30° = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
1. \(\sin(A+B) = \)
2. \(\cos(A-B) = \)
3. Usando \(30°=90°-60°\), \(\sin(30°) = \)
Ángulo doble: \(\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta\), \(\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1 = 1-2\sin^2\theta\). Ángulo medio: \(\sin\dfrac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}\).
Ejemplo: Si \(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\) y \(\cos\theta=\dfrac{4}{5}\): \(\sin(2\theta)=2\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{24}{25}\).
1. \(\sin(2\theta) = \)
2. \(\cos(2\theta) = \)
3. Si \(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\), \(\cos\theta=\dfrac{4}{5}\), \(\sin(2\theta) = \)
Para resolver \(\sin\theta = k\) (o similar), se encuentra la solución básica con la inversa y se usa la periodicidad para hallar todas las soluciones en el intervalo pedido.
Ejemplo: Resuelve \(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\) en \([0,2\pi)\): \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\) o \(\theta=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\) (seno positivo en cuadrantes I y II).
1. Resuelve \(\cos\theta=1\) en \([0,2\pi)\):
2. \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) tiene soluciones en \([0,2\pi)\) en los cuadrantes:
3. Resuelve \(\tan\theta=1\) en \([0,2\pi)\):
Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse por sustitución o eliminación. Un sistema puede tener una solución (rectas que se cruzan), ninguna solución (rectas paralelas) o infinitas soluciones (la misma recta).
Ejemplo (eliminación): \[ \begin{cases} x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases} \] Sumando ambas ecuaciones: \(2x=6 \Rightarrow x=3\), y sustituyendo: \(y=2\).
1. Resuelve: \(x+y=5\), \(x-y=1\). \(x=\)
2. Si las dos rectas de un sistema son paralelas y distintas, el sistema tiene:
3. Si las dos ecuaciones representan la misma recta, el sistema tiene:
La eliminación de Gauss extiende el método de eliminación a sistemas de 3 o más variables, reduciendo el sistema a forma triangular mediante operaciones entre ecuaciones (sumar múltiplos de una ecuación a otra) hasta poder despejar cada variable por sustitución hacia atrás.
Ejemplo: De \(x+y+z=6\), \(y+z=4\), \(z=1\): sustituyendo hacia atrás, \(y=4-1=3\), y \(x=6-3-1=2\).
1. Con \(y+z=4\) y \(z=1\), \(y=\)
2. El objetivo de la eliminación de Gauss es llevar el sistema a forma:
3. Después de triangular el sistema, se resuelve mediante:
Un sistema lineal puede escribirse como una matriz aumentada. El método de Gauss-Jordan usa operaciones de fila (intercambiar filas, multiplicar una fila por una constante, sumar un múltiplo de una fila a otra) para llevar la matriz a forma escalonada reducida (unos en la diagonal, ceros en el resto).
Ejemplo: El sistema \(\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}\) se escribe como \(\left[\begin{array}{cc|c}1&1&5\\2&-1&1\end{array}\right]\).
1. Una matriz aumentada representa:
2. El objetivo de Gauss-Jordan es llegar a la forma:
3. ¿Cuál NO es una operación de fila válida?
Dos matrices se pueden sumar/restar solo si tienen las mismas dimensiones (elemento a elemento). La multiplicación \(AB\) requiere que el número de columnas de \(A\) sea igual al número de filas de \(B\); el resultado tiene tantas filas como \(A\) y tantas columnas como \(B\).
Ejemplo: Si \(A\) es \(2\times3\) y \(B\) es \(3\times2\), entonces \(AB\) es \(2\times2\) y está definida, pero \(BA\) requeriría columnas de \(B\)(2) = filas de \(A\)(2) ✓, dando \(3\times3\).
1. Para sumar dos matrices, deben tener:
2. Para que \(AB\) esté definida, se necesita que:
3. En general, \(AB\) y \(BA\) son:
Para una matriz \(2\times2\), \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\), la inversa es \(A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\), siempre que \(ad-bc\neq0\). Cumple \(AA^{-1}=I\) (matriz identidad).
Ejemplo: \(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}\): \(ad-bc=2(1)-1(1)=1\), así que \(A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}\).
1. Una matriz \(2\times2\) tiene inversa si:
2. \(A \cdot A^{-1} = \)
3. Para \(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}\), \(ad-bc=\)
El determinante de \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) es \(\det(A)=ad-bc\). La regla de Cramer resuelve sistemas usando determinantes: para \(\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\), \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\), donde \(D\) es el determinante de coeficientes y \(D_x\), \(D_y\) reemplazan la columna correspondiente por las constantes.
Ejemplo: \(\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}\): \(D=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=-3\), \(D_x=\begin{vmatrix}5&1\\1&-1\end{vmatrix}=-6\), así que \(x=\dfrac{-6}{-3}=2\).
1. Para \(A=\begin{bmatrix}3&2\\1&4\end{bmatrix}\), \(\det(A)=\)
2. La regla de Cramer usa \(x=\)
3. Si el determinante \(D=0\), la regla de Cramer:
Cuatro simulacros que siguen la agrupación real de temas de los exámenes de MATE 3172: Primer Parcial (Sección 4 + Sección 9), Segundo Parcial (Sección 5 + 6 básica), Tercer Parcial (Sección 7 + 6 avanzada + inicio de Sección 8), y Final (todo + resto de Sección 8).
1. El dominio de \(f(x)=\log_5(3x-2)\) es:
2. El rango de \(f(x)=4-3e^x\) es:
3. Si \(f(x)=b^x\) pasa por el punto \(\left(-2,\frac{1}{49}\right)\), entonces \(b=\)
4. Si \(\log_4(x)=3\), entonces \(x=\)
5. Una persona desea tener $8000 en 6 años con interés continuo del 3%. ¿Cuánto debe invertir hoy?
6. Para \(g(x)=\ln(x)\), ¿cuál premisa es cierta?
7. ¿Cuál de las siguientes NO es una propiedad de los logaritmos?
8. Se invierten $3000 al 6% anual, capitalizado trimestralmente. ¿Cuánto hay al cabo de 2 años (aproximado)?
9. ¿Cuál de las siguientes tablas representa una función exponencial?
10. El valor de \(\dfrac{6!}{2! \cdot 4!}\) es:
11. La suma de la serie geométrica infinita \(3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots\) es:
12. El resultado de \(\displaystyle\sum_{i=1}^{150} 8\) es:
Completa cada blanco en papel como en un examen real. Luego presiona "Ver solución" para revisar tu trabajo.
1. La asíntota horizontal de \(g(x)=4^{x-2}+5\) es: ________
2. La expresión \(7^{\log_7(3x+1)}\) se simplifica a: ________
3. El tercer término de la sucesión de sumas parciales \((S_3)\) asociada a \(a_n=3n-1\) es: \(S_3=\) ________
4. La sucesión \(4,10,16,22,\dots\) es de tipo: ________, con diferencia o razón común: ________
Relaciona cada sucesión con su término n-ésimo.
A. \(a_n=n^2+1\)
B. \(a_n=5n-2\)
C. \(a_n=3\cdot2^{n-1}\)
D. \(a_n=(-1)^n \cdot n\)
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1. (9 pts.) Resuelve: \(5^{2x-1}=125^{x-2}\)
2. (7 pts.) Usa las leyes de logaritmos para escribir en términos de \(\log_b(x)\), \(\log_b(y)\), \(\log_b(z)\): \(\log_b\left(\dfrac{x^3}{y^2z}\right)\)
3. (8 pts.) El quinto término de una sucesión geométrica es 48, y el octavo término es 384. Halla la razón común y el primer término.
4. (8 pts.) Grafica \(f(x)=\log_2(x+3)-1\). Dibuja su asíntota y establece al menos dos puntos en la gráfica.
5. (6 pts.) Encuentra la suma \(\displaystyle\sum_{i=3}^{7}(2i+1)\)
6. (11 pts.) Si \(a_9=41\) y \(a_{14}=71\) son términos de una sucesión aritmética: (a) halla la diferencia común \(d\), (b) halla \(a_1\), y (c) escribe la fórmula del término general \(a_n\).
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
1. Al convertir \(\dfrac{5\pi}{12}\) radianes a grados obtenemos:
2. Al convertir \(\dfrac{1}{6}\) de revolución a grados obtenemos:
3. El ángulo de referencia del ángulo \(-200°\) es:
4. Las coordenadas del punto terminal \(P(t)\) que corresponde a \(t=\dfrac{2\pi}{3}\) son:
5. Si el punto \(\left(\frac{5}{13},y\right)\) está en el cuarto cuadrante y en el círculo unitario, entonces \(y=\)
6. El valor de \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\) es:
7. El valor exacto de \(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) es:
8. El ángulo \(41.25°\) expresado en grados, minutos y segundos es:
9. El ángulo positivo menor que \(2\pi\) y coterminal con \(\dfrac{17\pi}{4}\) es:
10. El desfase (ángulo de fase) de \(f(x)=3\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) es:
11. El rango de la función \(f(x)=\sin^{-1}(x)\) es:
12. Las funciones trigonométricas positivas en el tercer cuadrante son:
13. El valor exacto de \(\tan(33°)\cot(-33°)\) es:
14. El rango de las funciones seno y coseno es el intervalo:
Completa cada blanco en papel como en un examen real. Luego presiona "Ver solución" para revisar tu trabajo.
1. El dominio de \(f(t)=\csc(t)\) es: ________
2. El período de \(f(x)=4\cot\left(\frac{\pi}{3}x\right)\) es: \(p=\) ________
3. El valor exacto de \(\sin^{-1}(1)\) es: ________
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1. (14 pts.) Para \(f(x)=3\cos(2x-\pi)+4\) halla: (a) amplitud, (b) período, (c) valor promedio, (d) rango, (e) desfase, y (f) un ciclo apropiado para graficar (dónde comienza y dónde termina).
2. (8 pts.) Encuentra el valor exacto de \(\sec\left(\sin^{-1}\left(-\dfrac{4}{x}\right)\right)\).
3. (8 pts.) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo: el ángulo A mide 42°, y el cateto adyacente a A mide 20 cm. Expresa la medida de los ángulos en radianes y de los lados con dos cifras decimales.
4. (10 pts.) El ángulo de elevación desde un punto en el suelo a la cima de un edificio es 28°. Desde un segundo punto, 150 pies más cerca de la base, el ángulo de elevación es 42°. Halla la altura del edificio.
5. (7 pts.) Para el punto \((-8,15)\) que se encuentra sobre el lado terminal de un ángulo en posición estándar, halla el valor exacto de las 6 funciones trigonométricas.
6. (7 pts.) Un círculo tiene radio de 9 cm. Para un ángulo central de 60°, encuentra la longitud de arco \(s\) y el área del sector circular.
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
1. La expresión \((\sec x - \cos x)\cot x\) es equivalente a:
2. El caso ambiguo en la ley de senos ocurre cuando se conocen:
3. El valor exacto de \(\cos(150°)\) es equivalente a:
4. ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene como solución \((2,3)\)?
5. Al resolver el triángulo ABC con \(\alpha=52°\), \(\beta=64°\) y \(a=18\), se obtiene:
6. La ley de los cosenos se usa para resolver triángulos oblicuos cuando se conocen:
7. Las soluciones en el intervalo \([0,2\pi]\) para \(\cos(\theta)=\dfrac{1}{2}\) son:
8. El siguiente sistema tiene infinitas soluciones: \(\begin{cases}x-y+3z=2\\y-2z=1\end{cases}\). ¿Cuál NO es una solución?
9. El área de un triángulo con lados de longitud 8 m y 15 m, y ángulo incluido de \(50°\), es aproximadamente:
10. La expresión \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\) es equivalente a:
11. Si la gráfica de un sistema lineal de dos ecuaciones en dos variables representa dos rectas paralelas, el sistema:
12. El siguiente sistema en forma triangular tiene: \(\begin{cases}2x-3y+z=4\\y+z=-2\\z=0\end{cases}\)
13. Dos lados de un paralelogramo miden 20 cm y 30 cm, con ángulo entre ellos de \(115°\). La diagonal más larga mide aproximadamente:
14. En un triángulo con lados \(a=9\), \(b=12\), \(c=15\) y ángulos opuestos \(A,B,C\) respectivamente, ¿cuál afirmación es cierta?
Relaciona cada expresión de la izquierda con su identidad simplificada correcta.
A. \(1\)
B. \(\cos x\)
C. \(\csc x\)
D. \(\sec^2 x\)
Resuélvelos en papel como en un examen real. Luego presiona "Ver solución" para revisar tu trabajo.
1. (10 pts.) Si \(\cos(\alpha)=\dfrac{4}{5}\) y \(\alpha\) está en el primer cuadrante. Determina el valor exacto de: (a) \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)\), (b) \(\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\), y (c) \(\cos(2\alpha)\).
2. (10 pts.) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas sobre el intervalo \([0,2\pi]\): (a) \(\cos(2\theta)=\sin(\theta)\), (b) \(3\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)-2=1\).
3. (10 pts.) Un teleférico lleva pasajeros desde un punto A, a 2 millas de un punto B en la base de una montaña, hasta un punto P en la cima. Los ángulos de elevación desde A y B hacia P son \(15°\) y \(62°\) respectivamente. Calcula la distancia entre A y P.
4. (8 pts.) Marisol y Pedro venden dulces para recaudar fondos. Pedro vendió 5 cajas de chocolate y 3 de caramelos por $67. Marisol vendió 5 cajas de chocolate y 6 de caramelos por $97. ¿Cuál es el costo de cada caja de chocolate y cada caja de caramelos? Usa el método de eliminación o sustitución.
5. (10 pts.) Resuelve el sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación de Gauss: \(\begin{cases}x+2y-z=3\\2x-y+z=8\\x+y+2z=9\end{cases}\)
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
1. La solución de \(4^{2x-1}=5\) es:
2. La expresión \(\dfrac{1}{3}\log_b(x)+2\log_b(y)\) en términos de un solo logaritmo es:
3. El rango de la función \(f(x)=e^{x-2}\) es:
4. En el triángulo mostrado, con hipotenusa \(24\) y ángulo \(35°\) adyacente al lado \(x\), el valor de \(x\) es:
5. ¿Cuál de las siguientes NO es una sucesión aritmética?
6. Las coordenadas exactas del punto terminal \(P(x,y)\) en el círculo unitario, determinado por \(t=-\dfrac{7\pi}{4}\), son:
7. \(5\sin^2(\theta)+5\cos^2(\theta)\) es igual a:
8. El valor exacto de \(\dfrac{\tan(40°)+\tan(20°)}{1-\tan(40°)\tan(20°)}\) es:
9. Las soluciones de \(\sin(2x)=1\) en \([0,2\pi)\) son:
10. Si \(\sin(\theta)=\dfrac{3}{5}\) para \(\theta\) en el segundo cuadrante, entonces \(\cos(2\theta)\) es:
11. La expresión \(\sin(\cos^{-1}(x))\) es equivalente a la expresión algebraica:
12. Al evaluar \(\begin{vmatrix}2&3&1\\1&1&1\\1&2&4\end{vmatrix}\) se obtiene:
13. La solución del sistema \(\begin{cases}2x-3y=6\\6x+6y=8\end{cases}\) es:
14. De las siguientes matrices, la que NO tiene inversa es:
15. Si la matriz aumentada de un sistema es \(\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&5\\0&1&4&7\\0&0&0&0\end{array}\right]\), entonces el sistema:
16. Halla el término \(a_{21}\) en la sucesión aritmética \(3,7,11,15,\dots\)
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1. La medida en grados de un ángulo de \(\dfrac{5\pi}{4}\) radianes es: ________
2. Usando la fórmula de cambio de base, \(\log_5(9)=\) ________
3. El tercer término de la sucesión dada por \(a_{n+1}=(3n-1)a_n\), con \(a_1=1\), es: \(a_3=\) ________
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1. (8 pts.) Para la sucesión geométrica \(5,\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{9},\dfrac{5}{27},\dots\): (a) ¿cuál es la razón común?, (b) ¿cuál es el sexto término?, (c) ¿cuál es el término n-ésimo?, y (d) halla la suma parcial \(S_5\).
2. (8 pts.) Para la función \(f(x)=3\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\), completa: (a) amplitud, (b) período, (c) desfase, y (d) traza la gráfica mostrando al menos un ciclo, identificando interceptos, máximos y mínimos.
3. (5 pts.) Dado un triángulo \(\triangle ABC\) cuyos lados miden 11cm, 13cm y 16cm, determina la medida del ángulo opuesto al lado más grande. Redondea al grado más cercano.
4. (6 pts.) Si un ángulo \(\theta\) está en posición estándar y su lado terminal pasa por el punto \((\sqrt{5},2)\), halla: (a) \(\sin(\theta)\), (b) \(\cos(\theta)\), (c) \(\tan(\theta)\).
5. (10 pts.) Resuelve el siguiente sistema por el método de eliminación de Gauss o Gauss-Jordan (con matrices): \(\begin{cases}x+y+z=4\\2x-y+z=2\\x+2y-z=5\end{cases}\)
6. (8 pts.) Considera las siguientes matrices: \(A=\begin{bmatrix}2&-1&3\\4&0&2\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}1&2\\3&-1\end{bmatrix}\), \(C=\begin{bmatrix}4&1\\0&5\end{bmatrix}\). Halla (a) \(2B-C\), y (b) \(AB\) (si las dimensiones no lo permiten, explica por qué).
7. (7 pts.) Halla la inversa de la matriz: \(\begin{bmatrix}1&1&2\\0&1&3\\1&2&6\end{bmatrix}\)
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.