A tu medida
Funciones, álgebra y las bases que sostienen todo lo demás: 23 secciones publicadas y 414 ejercicios, con tres exámenes parciales de práctica de 1 h 30 y un examen final de 2 horas que mezcla todas las secciones.
¿No sabes por dónde empezar? Doce preguntas cortas y te digo tu nivel en cada bloque.
Entra en el PRIMER parcial.
Entra en el SEGUNDO parcial.
Entra en el TERCER parcial.
3.1 a 3.3 entran en el TERCER parcial; 3.4 a 3.6 el prontuario las coloca después, así que solo entran en el EXAMEN FINAL.
Temario alineado con el prontuario de MATE 3171. De él hay 23 secciones publicadas, cada una con lección, ejemplos y práctica: 414 ejercicios en total. Todavía no están publicadas 0.1, 0.2, 0.5, 0.6 ni 1.4.
A tu medida
Las sesiones todavía no han empezado: no se ha dado ninguna. Cuando arranquen será una al mes, y no una clase genérica — el temario del día sale de lo que el grupo inscrito falla en este curso.
Tutoría 1 a 1 conmigo
Tu examen, tu tarea, o el tema que se te atragantó. Escríbeme contando qué necesitas y en qué andas; si encaja con mis horas de esa semana, cerramos una.
Soy estudiante de ingeniería en la UPRM y doy las tutorías en los huecos que mi propio semestre deja libres, así que las horas son limitadas y van por orden de llegada.
Práctica completa
Son exámenes originales de Aureo, escritos con la agrupación de secciones del prontuario oficial de MATE 3171 y calibrados al formato y puntaje de los parciales reales. No son documentos del departamento. Si tu profesor agrupa las secciones de otra forma, usa Arma tu propio examen arriba.
El Departamento de Ciencias Matemáticas de la UPRM publica los exámenes de semestres pasados de MATE 3171: hay alrededor de 22 en su archivo. Son los documentos originales, tal como se dieron en el curso.
Ver el archivo oficial de la UPRMAntes de entrar de lleno al curso, el Departamento espera que domines dos herramientas de álgebra: factorizar expresiones y resolver ecuaciones. Se usan constantemente en el resto del semestre.
Factorizar es escribir una expresión como un producto. Las técnicas más comunes: factor común, diferencia de cuadrados \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), y trinomios \(x^2+bx+c\).
Factor común: \[ 6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x-3) \]
Diferencia de cuadrados: \[ x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \]
Trinomio: \[ x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) \]
1. Factoriza \(x^2 - 16\).
2. Factoriza \(x^2 + 9x + 20\).
3. Factor común de \(8x^3 + 12x^2\).
Una ecuación lineal se resuelve aislando \(x\). Una ecuación cuadrática se resuelve factorizando o con la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Lineal: \(3x - 7 = 11 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6\).
Cuadrática (factorizando): \(x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3)=0 \Rightarrow x=2 \text{ o } x=3\).
1. Resuelve: \(5x + 3 = 23\).
2. Resuelve: \(x^2 - 9 = 0\).
3. Resuelve: \(x^2 + 2x - 3 = 0\).
Resolver una desigualdad es como resolver una ecuación, con una regla clave: si multiplicas o divides por un número negativo, el símbolo de desigualdad se invierte.
Ejemplo: \(2x - 5 \lt 7 \Rightarrow 2x \lt 12 \Rightarrow x \lt 6\). En notación de intervalo: \((-\infty, 6)\).
Ejemplo con inversión: \(-3x + 4 \geq 10 \Rightarrow -3x \geq 6 \Rightarrow x \leq -2\) (se invierte el signo al dividir entre \(-3\)). Intervalo: \((-\infty, -2]\).
1. Resuelve: \(3x + 2 \lt 14\).
2. Resuelve: \(-2x \gt 8\).
3. ¿Cuál es la notación de intervalo para \(x \geq 5\)?
La fórmula de distancia entre dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\): \[ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \] La fórmula de punto medio: \[ M = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \]
Distancia entre \((1,2)\) y \((4,6)\): \[ d = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \]
Punto medio entre \((1,2)\) y \((4,6)\): \[ M = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (2.5, 4) \]
1. Distancia entre \((0,0)\) y \((3,4)\):
2. Punto medio entre \((-2,3)\) y \((4,-1)\):
3. Distancia entre \((1,1)\) y \((1,5)\):
La ecuación estándar de un círculo con centro \((h,k)\) y radio \(r\): \[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \]
Ejemplo: \((x-2)^2 + (y+1)^2 = 9\) tiene centro \((2,-1)\) y radio \(\sqrt{9}=3\).
Círculo en el origen: un círculo centrado en \((0,0)\) con radio 5: \(x^2+y^2=25\).
1. Centro y radio de \((x-3)^2+(y-4)^2=16\):
2. Ecuación de un círculo con centro \((0,0)\) y radio \(7\):
3. Radio de \(x^2+(y-2)^2=36\):
1. Factoriza \(x^2 - 49\).
2. Factoriza \(x^2 + 10x + 21\).
3. Factor común de \(10x^3 + 15x^2\).
4. Resuelve: \(4x - 9 = 15\).
5. Resuelve: \(x^2 - 4 = 0\).
6. Resuelve: \(x^2 + x - 6 = 0\).
7. Factoriza \(x^2 - x - 12\).
8. Resuelve: \(2x^2 - 8 = 0\).
9. Las soluciones de \(|x-3|=5\) son:
10. La solución de \(x^2-x-6 \geq 0\) en notación de intervalo es:
11. La solución de \(|2x+1| \lt 7\) en notación de intervalo es:
12. La distancia entre los puntos \((1,6)\) y \((7,-2)\) es:
13. El punto medio entre \((-3,2)\) y \((5,8)\) es:
14. El centro y radio del círculo \((x-2)^2+(y+3)^2=16\) son:
Relaciona cada expresión con el tipo de técnica o resultado que le corresponde.
A. Diferencia de cuadrados
B. Trinomio cuadrático
C. Factor común
D. Ecuación resuelta por factorización
Escribe tu procedimiento usando el teclado de símbolos. Puedes pedirle a Aureo que te lo revise, o ver la solución para autoevaluarte.
1. (6 pts.) Factoriza completamente: \( 3x^2 - 27 \)
2. (6 pts.) Resuelve: \( x^2 + 3x - 10 = 0 \)
3. (6 pts.) Resuelve usando la fórmula cuadrática: \( 2x^2 - 3x - 5 = 0 \)
4. (6 pts.) Factoriza: \( x^3 - 4x \)
5. (6 pts.) Resuelve y expresa en notación de intervalo: \( 3x^2 - 12 \leq 0 \)
6. (6 pts.) Halla la ecuación del círculo con centro \((-1,4)\) que pasa por el punto \((2,4)\).
7. (6 pts.) Simplifica: \( \dfrac{x^2-9}{x^2-3x} \div \dfrac{x+3}{x} \)
8. (6 pts.) Resuelve: \( |3x+2| \geq 8 \). Expresa en notación de intervalo.
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
Antes del primer parcial real, el Departamento de Ciencias Matemáticas espera que domines dos bloques: rectas (pendiente y ecuaciones) y funciones (evaluación, dominio y rango). Vamos tema por tema, con una mini-práctica al final de cada uno.
La pendiente entre dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) es \( m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \). Una recta vertical que pasa por \((a, b)\) siempre es \(x = a\) (no tiene pendiente definida). Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.
Ejemplo: pendiente entre \((2,3)\) y \((-2,5)\): \[ m = \frac{5-3}{-2-2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \]
Ejemplo de paralela: una recta paralela a \(y = 2x - 1\) tiene la misma pendiente (2), solo cambia su intercepto.
1. ¿Cuál es la pendiente entre (1,4) y (3,10)?
2. ¿Cuál es la ecuación de la recta vertical que pasa por (4, −2)?
3. ¿Cuál recta es paralela a y = 2x − 1 y pasa por (0, 5)?
Una función es una regla que a cada valor de entrada \(x\) le asigna exactamente un valor de salida \(f(x)\). El dominio son todos los valores de \(x\) permitidos.
Ejemplo resuelto: Sea \(f(x) = 2x - 3\). \[ f(4) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5 \]
Ejemplo de dominio: \(g(x) = \dfrac{1}{x-2}\). Como no se puede dividir entre cero, \(x\) no puede ser 2. Dominio: \(x \neq 2\).
1. Si f(x) = 3x + 1, ¿cuánto es f(4)?
2. ¿Cuál es el dominio de f(x) = 1/(x − 5)?
3. Si f(x) = x² − 4, ¿cuánto es f(−3)?
De una gráfica podemos leer: dónde crece o decrece la función, sus interceptos (dónde cruza los ejes), y si es par (\(f(-x)=f(x)\), simétrica al eje y) o impar (\(f(-x)=-f(x)\), simétrica al origen).
Ejemplo: \(f(x) = x^2 - 4\). Intercepto en y: \(f(0)=-4\), punto \((0,-4)\). Interceptos en x: \(x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm2\), puntos \((2,0)\) y \((-2,0)\).
1. Para \(f(x)=x^2-9\), ¿cuál es el intercepto en y?
2. Para \(f(x)=x^2-9\), ¿cuáles son los interceptos en x?
3. Si \(f(-x)=f(x)\) para todo \(x\), la función es:
La razón de cambio promedio de \(f\) entre \(x=a\) y \(x=b\): \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] Es la pendiente de la recta secante que une esos dos puntos.
Ejemplo: \(f(x)=x^2\) entre \(x=1\) y \(x=3\): \[ \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4 \]
1. \(f(x)=2x+1\), razón de cambio promedio entre \(x=0\) y \(x=5\):
2. \(f(x)=x^2\), razón de cambio promedio entre \(x=2\) y \(x=4\):
3. \(f(x)=x^3\), razón de cambio promedio entre \(x=0\) y \(x=2\):
Una función definida por partes usa reglas distintas según el intervalo de \(x\). Hay que identificar en qué "parte" cae el valor de \(x\) antes de evaluar.
Ejemplo: \[ f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{si } x \lt 0 \\ x^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \] \(f(-2) = -2+1 = -1\) (usa la primera parte). \(f(3) = 3^2 = 9\) (usa la segunda parte).
1. Con la función del ejemplo, \(f(-1) = \)
2. Con la función del ejemplo, \(f(2) = \)
3. Con la función del ejemplo, \(f(0) = \)
Una función de potencia tiene la forma \(f(x)=x^n\). Si \(n\) es par, la gráfica es simétrica al eje y (función par) y nunca es negativa. Si \(n\) es impar, es simétrica al origen (función impar). Potencias negativas como \(f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}\) tienen una asíntota vertical en \(x=0\).
Ejemplo par: \(f(x)=x^4\) — siempre \(\geq 0\), simétrica al eje y.
Ejemplo con potencia negativa: \(f(x)=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}\) tiene asíntota vertical en \(x=0\).
1. \(f(x)=x^5\) es una función:
2. El rango de \(f(x)=x^4\) es:
3. \(f(x)=x^{-1}=\dfrac{1}{x}\) tiene asíntota vertical en:
Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir funciones: \((f+g)(x) = f(x)+g(x)\). La composición \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) significa "evalúa primero \(g\), y usa ese resultado como entrada de \(f\)".
Ejemplo: \(f(x)=x+1\), \(g(x)=x^2\). \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = x^2+1 \qquad (g \circ f)(x) = g(f(x)) = (x+1)^2 \]
1. \(f(x)=x+1\), \(g(x)=x^2\). \((f \circ g)(2) = \)
2. Con las mismas funciones, \((g \circ f)(2) = \)
3. Con las mismas funciones, \((f+g)(3) = \)
La función inversa \(f^{-1}\) "deshace" lo que hace \(f\): \((f \circ f^{-1})(x) = x\). Para hallarla: cambia \(x\) por \(y\), despeja \(y\).
Ejemplo: \(f(x)=2x+3\). Escribe \(y=2x+3\), intercambia: \(x=2y+3\), despeja: \[ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} \]
1. \(f(x)=2x+3\). \(f^{-1}(x) = \)
2. Si \(f(2)=7\), entonces \(f^{-1}(7) = \)
3. \(f(x)=x^3\). \(f^{-1}(x) = \)
1. La pendiente de la recta que pasa por (−1, 2) y (3, −6) es:
2. Una recta vertical que pasa por (6, −4) tiene ecuación:
3. La recta paralela a y = 2x + 3 con intercepto en y = −1 es:
4. La recta con pendiente 4 que pasa por (−1, 2) es:
5. Si f(x) = 2x − 5, entonces f(3) =
6. El dominio de f(x) = 1/(x + 8) es:
7. El dominio de f(x) = √(3x − 6) es:
8. El campo de valores (rango) de f(x) = x² + 1 es:
9. La pendiente de la recta horizontal que pasa por (3, −2) es:
10. La ecuación de la recta horizontal que pasa por (4, 7) es:
11. Si f(x) = −2x + 9, entonces f(−1) =
12. El dominio de f(x) = 1/(x² − 9) es:
13. El rango de f(x) = −x² + 2 es:
14. La pendiente de la recta 3x − y = 7 es:
15. Si f(x) = 3x + 13 y g(x) = 2x + 1, entonces (f∘g)(3) =
16. Si f(x) = 4x, entonces f⁻¹(-12) =
17. ¿Cuál de las siguientes funciones es uno a uno (tiene inversa)?
18. Las gráficas de \(f\) y \(f^{-1}\) son siempre simétricas respecto a:
19. Si \(f(x) = \begin{cases} x-3 & x \lt 0 \\ x^2 & x \geq 0 \end{cases}\), entonces \(f(-1) =\)
20. Si \(f\) tiene inversa, entonces \((f^{-1} \circ f)(7) =\)
Relaciona cada expresión de la izquierda con la característica correcta a la derecha.
A. Pendiente indefinida (recta vertical)
B. Pendiente cero (recta horizontal)
C. Dominio: x ≠ 2
D. Rango: y ≥ 0
Resuélvelos en papel como en un examen real. Luego presiona "Ver solución" para revisar tu trabajo — esto no se autocalifica porque requiere mostrar el procedimiento.
1. (8 pts.) Sea f(x) = −3x + 7. Evalúa (a) f(0), (b) f(−2), y (c) construye una tabla de valores para x = −1, 0, 1, 2.
2. (9 pts.) La recta R pasa por los puntos (−3, 8) y (2, −2). Determina (a) la pendiente, (b) el intercepto en y, y (c) la ecuación de R.
3. (8 pts.) La altura de un dron sobre el suelo está dada por h(t) = 40t − 5t², donde t está en segundos y h en metros. Determina la razón de cambio promedio (velocidad promedio) entre t = 1 y t = 4 segundos.
4. (9 pts.) Sea f(x) = x² + 3. Evalúa (a) f(a), (b) f(a+1), y (c) [f(a+h) − f(a)] / h.
5. (7 pts.) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, −2) y (4, 7).
6. (7 pts.) Sea g(x) = 2/(x + 5). Determina (a) el dominio de g, y (b) evalúa g(0).
7. (9 pts.) Sean f(x) = 2x − 1 y g(x) = x² + 3. Halla (a) (f∘g)(x), (b) (g∘f)(x), y (c) (f∘g)(2).
8. (9 pts.) Sea f(x) = (x + 4)/3. (a) Verifica que f es uno a uno. (b) Halla f⁻¹(x). (c) Comprueba que (f∘f⁻¹)(x) = x.
Se acabó el tiempo. Así se siente un parcial real — revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
Aquí aprendes a transformar gráficas conocidas (desplazarlas, estirarlas, reflejarlas) sin tener que graficar desde cero, y se introduce un nuevo tipo de número necesario para resolver ecuaciones que no tienen solución real.
\(f(x)+k\) desplaza la gráfica \(k\) unidades hacia arriba (o abajo si \(k\lt0\)). \(f(x+h)\) desplaza \(h\) unidades a la izquierda (contraintuitivo). \(-f(x)\) refleja sobre el eje x; \(f(-x)\) refleja sobre el eje y.
Ejemplo: \(g(x)=(x-2)^2+3\) es \(f(x)=x^2\) desplazada 2 a la derecha y 3 hacia arriba.
Ejemplo de reflexión: \(g(x)=-x^2\) es \(x^2\) reflejada sobre el eje x.
1. \(g(x)=(x+3)^2-1\) es \(f(x)=x^2\) desplazada:
2. \(g(x)=-\sqrt{x}\) es \(\sqrt{x}\) reflejada sobre el:
3. \(g(x)=\sqrt{-x}\) es \(\sqrt{x}\) reflejada sobre el:
\(a \cdot f(x)\) estira verticalmente si \(|a|\gt1\), encoge si \(0\lt|a|\lt1\). \(f(bx)\) encoge horizontalmente si \(|b|\gt1\), estira si \(0\lt|b|\lt1\) (también contraintuitivo).
Ejemplo: \(g(x)=3x^2\) es \(x^2\) estirada verticalmente por un factor de 3.
Ejemplo de encogimiento: \(g(x)=\dfrac{1}{2}x^2\) es \(x^2\) encogida verticalmente por \(\dfrac{1}{2}\).
1. \(g(x)=4x^2\) es \(x^2\) con un:
2. \(g(x)=\dfrac{1}{3}|x|\) es \(|x|\) con un:
3. Si \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=f(2x)=4x^2\), ¿qué transformación es?
La forma general \(f(x)=ax^2+bx+c\) tiene vértice en \(x=-\dfrac{b}{2a}\). En forma de vértice \(f(x)=a(x-h)^2+k\), el vértice es directamente \((h,k)\).
Ejemplo: \(f(x)=x^2-4x+3\). \[ h = -\frac{-4}{2(1)} = 2 \qquad k = f(2) = 4-8+3 = -1 \] Vértice: \((2,-1)\).
1. Vértice de \(f(x)=x^2-6x+5\):
2. Para \(f(x)=2x^2-8x+3\), ¿cuál es el valor de \(x\) en el vértice?
3. Si \(a\gt0\) en \(f(x)=ax^2+bx+c\), el vértice es un:
La unidad imaginaria \(i=\sqrt{-1}\), así que \(i^2=-1\). Un número complejo tiene la forma \(a+bi\). Se suman/restan combinando partes reales e imaginarias por separado; se multiplican como binomios, recordando que \(i^2=-1\).
Suma: \((3+2i)+(1-4i) = 4-2i\)
Multiplicación: \[ (2+i)(3-i) = 6-2i+3i-i^2 = 6+i+1 = 7+i \]
1. \(i^2 = \)
2. \((4+3i)+(2-i) = \)
3. \((1+i)(1-i) = \)
Un polinomio se identifica por su grado (el exponente más alto) — el grado y el signo del coeficiente principal nos dicen qué hace la gráfica en los extremos. Una función racional es un cociente de polinomios; donde el denominador se hace cero y el numerador no, aparece una asíntota vertical. Si se anulan los dos, puede no haber asíntota sino un hueco: en \( \dfrac{x^2-1}{x-1} \) el denominador es cero en \( x=1 \), pero la función se simplifica a \( x+1 \) y ahí solo falta un punto.
Ejemplo de comportamiento extremo (3.1): \(f(x) = -x^3\) tiene grado 3 (impar) y coeficiente negativo. Cuando \(x \to \infty\), \(f(x) \to -\infty\); cuando \(x \to -\infty\), \(f(x) \to \infty\).
Ejemplo de asíntotas (3.6): \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-4}\). Asíntota vertical en \(x = 4\) (donde el denominador es 0). Como el numerador y el denominador tienen el mismo grado, la asíntota horizontal es la razón de los coeficientes principales: \(y = 2\).
1. ¿Cuál es el grado del polinomio f(x) = 3x⁴ − x + 2?
2. ¿Dónde está la asíntota vertical de f(x) = 2/(x + 5)?
3. ¿Qué pasa con f(x) = −x³ cuando x → ∞?
4. ¿Cuál es la asíntota horizontal de f(x) = (2x + 1)/(x − 4)?
Un polinomio de grado \(n\) tiene a lo más \(n-1\) "puntos de giro". En un cero con multiplicidad par, la gráfica toca el eje x sin cruzarlo; con multiplicidad impar, la cruza.
Ejemplo: \(f(x)=(x-1)^2(x+2)\). En \(x=1\) (multiplicidad 2, par) la gráfica toca el eje. En \(x=-2\) (multiplicidad 1, impar) la gráfica cruza el eje.
1. Un polinomio de grado 5 tiene a lo más ¿cuántos puntos de giro?
2. \(f(x)=(x-3)^2(x+1)\). En \(x=3\), la gráfica:
3. Con la misma función, en \(x=-1\) (multiplicidad 1), la gráfica:
El teorema del residuo: al dividir \(f(x)\) entre \((x-c)\), el residuo es \(f(c)\). El teorema del factor: \((x-c)\) es factor de \(f(x)\) si y solo si \(f(c)=0\).
Ejemplo: Para \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\), evaluamos \(f(1) = 1-2-5+6 = 0\). Como el residuo es 0, \((x-1)\) es un factor y \(x=1\) es una raíz.
1. Al dividir \(f(x)\) entre \((x-2)\), el residuo es 0. Esto significa que:
2. Si \(f(3)=0\), entonces:
3. Al dividir \(x^2+5x+6\) entre \((x+2)\), el residuo es:
El teorema de los ceros racionales: las posibles raíces racionales de un polinomio son \(\pm\dfrac{\text{factores del término constante}}{\text{factores del coeficiente principal}}\).
Ejemplo: Para \(f(x)=x^3-4x^2+x+6\) (constante 6, coeficiente principal 1): posibles raíces racionales \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\). Probando \(x=-1\): \(-1-4-1+6=0\) ✓ — es raíz.
1. Para \(f(x)=x^3-x-6\), ¿cuáles son las posibles raíces racionales?
2. Para \(f(x)=x^3-x-6\), ¿es \(x=2\) una raíz?
3. Para \(f(x)=2x^2-3x-2\), las posibles raíces racionales incluyen:
El teorema fundamental del álgebra: un polinomio de grado \(n\) tiene exactamente \(n\) raíces (contando multiplicidad, permitiendo raíces complejas). Si los coeficientes son reales, las raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados.
Ejemplo: Si un polinomio con coeficientes reales tiene la raíz \(2+i\), entonces también debe tener la raíz \(2-i\).
1. Un polinomio de grado 4 tiene, contando multiplicidad, ¿cuántas raíces?
2. Si \(3-2i\) es raíz de un polinomio con coeficientes reales, ¿qué otra raíz debe tener?
3. Un polinomio de grado 3 con coeficientes reales, ¿puede tener exactamente 1 raíz compleja (no real)?
1. El vértice de \(f(x)=3(x+2)^2+5\) es:
2. ¿Cuál función cuadrática abre hacia arriba y tiene ceros \(x=2\) y \(x=-1\)?
3. Si \(x^{50}+x^3+1=(x+1)Q(x)+R\), entonces \(R=\)
4. \(\dfrac{1+i}{1-i}=\)
5. La raíz cuadrada principal de \(-9\) es:
6. Según la prueba de los ceros racionales, los posibles ceros racionales de \(P(x)=x^3+4x-6\) son:
7. Si \(P(x)=x^3-3x^2-x+3\) y \(P(3)=0\), ¿cuál de los siguientes es un factor de \(P(x)\)?
8. El resultado de \((2-5i)-(-3+i)\) en la forma \(a+bi\) es:
9. El producto \((1+2i)(3-i)\) en la forma \(a+bi\) es:
10. \(i^{102}=\)
11. Las asíntotas de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\) son:
12. Si \(f(x)=-2x^4+3x^2-1\), entonces cuando \(x \to \infty\) y \(x \to -\infty\):
1. Expresa \(P(x)=x^4-16\) como producto de factores lineales (y cuadráticos irreducibles si es necesario): \(P(x)=\) ________
2. Si \(P(-5)=0\), entonces un factor de \(P(x)\) es: ________
3. La forma estándar (vértice) de \(f(x)=x^2-8x+10\) es: \(f(x)=\) ________
4. Un polinomio de grado 3 con ceros en \(x=-1\) (multiplicidad 2) y \(x=3\) es: \(P(x)=\) ________
Completa cada blanco en papel y luego revisa tu trabajo.
Resuélvelos en papel como en un examen real. Luego presiona "Ver solución" para revisar tu trabajo.
1. (10 pts.) Se lanza una pelota. Su altura (en metros) está dada por \(f(x) = -5x^2+20x\), donde \(x\) es el tiempo en segundos. Determina la altura máxima alcanzada.
2. (10 pts.) Halla el cociente y el residuo de \(\dfrac{x^4+3x^3+2x^2+x+4}{x^2+x+1}\).
3. (14 pts.) Sea \(P(x)=x^4-2x^3-3x^2\). (a) Halla los ceros de \(P(x)\) e indica su multiplicidad. (b) Halla el intercepto en y. (c) Describe el comportamiento cuando \(x \to \pm\infty\). (d) Haz un esquema de la gráfica.
4. (12 pts.) Halla todos los ceros (reales y complejos) del polinomio \(P(x)=x^4-x^3+2x^2-4x-8\).
5. (10 pts.) Halla un polinomio de grado 4 con coeficientes reales, con intercepto en \(y=20\), cuyos ceros incluyen \(x=1\) (multiplicidad 2) y \(x=2i\).
6. (16 pts.) Sea \(f(x)=\dfrac{3x-6}{x^2-x-2}\). Halla (a) las asíntotas verticales, (b) la asíntota horizontal, (c) los interceptos en x y en y, y (d) haz un esquema de la gráfica.
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
1. Factoriza completamente: \(x^3 - 4x^2 - 9x + 36\).
2. Resuelve: \(\sqrt{2x+7} = x+2\).
3. Resuelve la desigualdad \(|x-3| < 5\) y expresa la solución en notación de intervalo.
4. Halla la distancia entre los puntos \((-2, 5)\) y \((4, -3)\).
5. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto \((4,-1)\) y es perpendicular a la recta \(2x+y=5\).
6. Determina el dominio de \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}\).
7. Determina cuál de las siguientes ecuaciones NO define a \(y\) como función de \(x\).
8. Halla la razón de cambio promedio de \(f(x)=x^2-3x\) en el intervalo \([1,4]\).
9. La función de potencia \(f(x)=kx^3\) pasa por el punto \((2,-16)\). Determina el valor de \(k\).
10. La gráfica de \(g(x)=(x-3)^2+2\) se obtiene a partir de la gráfica de \(y=x^2\) mediante:
11. Determina la función cuya gráfica es la de \(y=x^2\) tras un estiramiento vertical por un factor de 3 seguido de una reflexión respecto al eje \(x\).
12. Escribe en la forma \(a+bi\) el cociente \(\dfrac{3+2i}{1-i}\).
13. Determina el comportamiento extremo de la gráfica de \(P(x)=-2x^4+5x^3-1\).
14. Usa el teorema del factor para determinar cuál de los siguientes es un factor de \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).
15. Halla el polinomio mónico de grado mínimo con coeficientes reales que tiene como ceros a \(2\) y \(1+i\).
16. Halla la asíntota horizontal de \(r(x)=\dfrac{3x^2-5x+1}{6x^2+2}\).
Completa cada blanco en papel como en un examen real. Luego presiona "Ver solución" para revisar tu trabajo.
1. El punto medio del segmento que une \((-2, 3)\) y \((4, -5)\) es: ________
2. La pendiente de la recta que pasa por \((1, 2)\) y \((5, 10)\) es: ________
3. El residuo al dividir \(x^3-4x^2+x+6\) entre \(x-2\) es: ________
Resuélvelos en papel como en un examen real. Luego presiona "Ver solución" para revisar tu trabajo.
1. (6 pts.) Resuelve cada ecuación. Muestra todo tu trabajo.
(a) \(x^3 = 9x\)
(b) \(x^2 - 4x - 1 = 0\)
(c) \(\dfrac{x}{x-2} + 3 = \dfrac{2}{x-2}\)
2. (6 pts.) Considera el círculo \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\).
(a) Completa el cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar.
(b) Identifica el centro y el radio.
(c) Determina si el punto \((7, 1)\) pertenece al círculo. Justifica con un cálculo.
3. (6 pts.) Sea \(f(x)=\begin{cases}x+4 & \text{si } x<-2\\ x^2 & \text{si } -2\le x<1\\ -x+3 & \text{si } x\ge 1\end{cases}\).
(a) Halla \(f(-3)\), \(f(-2)\) y \(f(1)\). (2 pts)
(b) Traza la gráfica de \(f\). (2 pts)
(c) Usa la gráfica para determinar el rango de \(f\). (2 pts)
4. (8 pts.) Sean \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\) y \(g(x)=\sqrt{x+3}\).
(a) Halla \((f\circ g)(x)\). (3 pts)
(b) Determina el dominio de \(f\circ g\) en notación de intervalos. (3 pts)
(c) Halla \((g\circ f)(3)\). (2 pts)
5. (6 pts.) Sea \(f(x)=2x^3-5\).
(a) Halla \(f^{-1}(x)\). (3 pts)
(b) Verifica que \((f\circ f^{-1})(x)=x\) y que \((f^{-1}\circ f)(x)=x\). (3 pts)
6. (6 pts.) Se lanza un proyectil verticalmente desde una plataforma. Su altura en pies, a los \(t\) segundos, está dada por \(h(t)=-16t^2+64t+80\). (a) Halla la altura de la plataforma. (b) Halla la altura máxima que alcanza el proyectil y el instante en que la alcanza. (c) Determina en qué instante el proyectil llega al suelo.
7. (7 pts.) Considera el polinomio \(P(x)=2x^3-3x^2+8x-12\). (a) Enumera todos los posibles ceros racionales según el teorema de los ceros racionales. (b) Halla un cero racional de \(P\) y úsalo para factorizar \(P(x)\). (c) Halla los ceros restantes y escribe la lista completa de TODOS los ceros de \(P\), reales y complejos.
8. (7 pts.) Sea \(r(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-9}\). (a) Halla las intersecciones de la gráfica con el eje \(x\) y con el eje \(y\). (b) Halla las asíntotas verticales. (c) Halla la asíntota horizontal. (d) Con la información anterior, esboza la gráfica de \(r\).
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.