A tu medida
Técnicas de integración, integrales impropias, largo de arco y área de superficie, curvas paramétricas y polares, sucesiones y series, y una introducción a vectores en el espacio — organizados con la misma numeración de secciones (6.2 a 13.2) y el mismo orden de examen departamental que usa el Departamento de Ciencias Matemáticas de la UPRM. Como en los exámenes reales de MATE 3032, el peso está en el desarrollo: los problemas abiertos se escriben dentro de la app y Aureo revisa tu procedimiento, con calculadora científica permitida (no gráfica).
¿No sabes por dónde empezar? Doce preguntas cortas y te digo tu nivel en cada bloque.
Entra en el PRIMER parcial.
7.1 a 7.4a cierran el PRIMER parcial; de 7.4b en adelante es el SEGUNDO.
Entra en el SEGUNDO parcial.
Entra en el SEGUNDO parcial.
11.1 a 11.9 entran en el TERCER parcial; 11.10 y 11.11 en el CUARTO.
12.1 a 12.4 entran en el CUARTO parcial; 12.5 solo en el EXAMEN FINAL.
El prontuario las coloca después del cuarto parcial: solo entran en el EXAMEN FINAL.
Numeración oficial de secciones (Stewart, Calculus: Early Transcendentals) siguiendo el prontuario y el orden real de exámenes departamentales del Departamento de Ciencias Matemáticas de la UPRM.
A tu medida
Las sesiones todavía no han empezado: no se ha dado ninguna. Cuando arranquen será una al mes, y no una clase genérica — el temario del día sale de lo que el grupo inscrito falla en este curso.
Práctica completa
Son exámenes originales de Aureo, escritos con la agrupación de secciones del prontuario oficial de MATE 3032 y calibrados al formato y puntaje de los parciales reales. No son documentos del departamento. Si tu profesor agrupa las secciones de otra forma, usa Arma tu propio examen arriba.
El Departamento de Ciencias Matemáticas de la UPRM publica los exámenes de semestres pasados de MATE 3032: hay alrededor de 33 en su archivo. Son los documentos originales, tal como se dieron en el curso.
Ver el archivo oficial de la UPRMEsta sección cubre exactamente el primer examen departamental real de MATE 3032: aplicaciones geométricas y físicas de la integral definida, seguidas de las primeras técnicas para integrar funciones que no se resuelven con sustitución simple.
Para hallar el volumen de un sólido de revolución, se rebana el sólido en discos delgados perpendiculares al eje de rotación. Si la región gira alrededor del eje x y está acotada por una sola curva \( y=R(x) \), cada rebanada es un disco de radio \( R(x) \) y volumen \( \pi [R(x)]^2\,dx \), por lo que \( V=\displaystyle\int_a^b \pi [R(x)]^2\,dx \). Cuando la región está entre dos curvas, cada rebanada es una arandela con radio exterior \( R(x) \) y radio interior \( r(x) \), y el volumen es \( V=\displaystyle\int_a^b \pi\big([R(x)]^2-[r(x)]^2\big)\,dx \). Es fundamental dibujar la región y determinar cuál curva queda por fuera y cuál por dentro antes de plantear la integral.
Ejemplo: Halla el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región bajo \( y=\sqrt{x} \) entre \( x=0 \) y \( x=4 \).
Cada sección transversal es un disco de radio \( R(x)=\sqrt{x} \), así que
\[ V=\int_0^4 \pi\big(\sqrt{x}\big)^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi. \]
1. Halla el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje x la región bajo la curva \( y=x^3 \) entre \( x=0 \) y \( x=2 \).
2. Halla el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje x la región acotada por \( y=x \) y \( y=x^2 \) entre \( x=0 \) y \( x=1 \).
El método de capas cilíndricas rebana el sólido en cascarones concéntricos paralelos al eje de rotación, útil cuando despejar x en función de y (o viceversa) resulta incómodo. Si la región entre \( x=a \) y \( x=b \) gira alrededor del eje y, cada capa a distancia x del eje tiene radio x, altura \( h(x) \) y espesor \( dx \), con volumen \( 2\pi x\,h(x)\,dx \). Por lo tanto \( V=\displaystyle\int_a^b 2\pi x\,h(x)\,dx \). La ventaja de este método es que no requiere separar la región en discos con hueco: basta con la altura vertical (u horizontal) de la franja.
Ejemplo: Halla el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje y la región bajo \( y=x^2 \) entre \( x=0 \) y \( x=1 \).
Cada capa cilíndrica tiene radio \( x \) y altura \( x^2 \), entonces
\[ V=\int_0^1 2\pi x\cdot x^2\,dx=2\pi\int_0^1 x^3\,dx=2\pi\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac{\pi}{2}. \]
1. Usa el método de capas cilíndricas para hallar el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje y la región acotada por \( y=\sqrt{x} \), \( y=0 \) y \( x=4 \).
2. Usa capas cilíndricas para hallar el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje y la región acotada por \( y=2x \) y \( y=x^2 \).
El trabajo realizado por una fuerza constante \( F \) al desplazar un objeto una distancia \( d \) es \( W=Fd \). Cuando la fuerza varía con la posición, se divide el desplazamiento en pedazos pequeños y se suma: \( W=\displaystyle\int_a^b F(x)\,dx \). Para un resorte, la Ley de Hooke establece que la fuerza necesaria para estirarlo (o comprimirlo) una distancia x más allá de su longitud natural es \( F(x)=kx \), donde k es la constante del resorte. Para levantar un cable o cadena cuyo peso está distribuido a lo largo del recorrido, cada franja de peso \( dF \) debe multiplicarse por la distancia que esa franja en particular debe recorrer, no por la distancia total.
Ejemplo: Un resorte tiene longitud natural de 0.5 m. Se necesita una fuerza de 20 N para estirarlo hasta 0.6 m. Halla el trabajo necesario para estirarlo 0.15 m más allá de su longitud natural.
El estiramiento es de \( 0.6-0.5=0.1 \) m, así que por la Ley de Hooke \( k=\dfrac{F}{x}=\dfrac{20}{0.1}=200 \) N/m. Entonces
\[ W=\int_0^{0.15} 200x\,dx=200\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{0.15}=100(0.0225)=2.25\text{ J}. \]
1. Un resorte tiene longitud natural de 0.4 m. Una fuerza de 15 N lo estira 0.05 m más allá de su longitud natural. Halla el trabajo necesario para estirar el resorte 0.2 m más allá de su longitud natural.
2. Una cadena de 8 m de longitud cuelga del borde de un edificio. La cadena pesa 6 N por metro. Halla el trabajo necesario para subir toda la cadena hasta el borde del edificio.
El valor promedio de una función continua \( f \) en \([a,b]\) se define como \( f_{\text{prom}}=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \), que generaliza el promedio de una lista finita de números al caso continuo. El Teorema del Valor Medio para integrales garantiza que, si f es continua en \([a,b]\), existe al menos un \( c\in(a,b) \) tal que \( f(c)=f_{\text{prom}} \); es decir, la función alcanza su propio promedio en algún punto del intervalo. Geométricamente, \( f_{\text{prom}} \) es la altura del rectángulo con base \( b-a \) que tiene la misma área que la región bajo la curva.
Ejemplo: Halla el valor promedio de \( f(x)=x^2 \) en \([0,3]\) y un valor de c que garantice el Teorema del Valor Medio para integrales.
\[ f_{\text{prom}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac13\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac13(9)=3. \]
Buscamos \( c\in(0,3) \) tal que \( f(c)=c^2=3 \), es decir \( c=\sqrt3\approx1.73 \), que sí está en el intervalo.
1. Halla el valor promedio de \( f(x)=3x^2-2x \) en \([1,4]\) y un valor de c que garantice el Teorema del Valor Medio para integrales.
2. Halla el valor promedio de \( g(x)=4-x^2 \) en \([-1,2]\) y un valor de c que garantice el Teorema del Valor Medio para integrales.
La integración por partes proviene de la regla del producto para derivadas y establece que \( \displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du \). Se elige u como el factor que se simplifica al derivar (por ejemplo, un polinomio) y dv como el resto, que debe poderse integrar fácilmente; el orden LIPET (logarítmicas, inversas trigonométricas, polinomios, exponenciales, trigonométricas) ayuda a decidir. En integrales como \( \int x^n e^{x}\,dx \) hay que aplicar la fórmula varias veces, reduciendo el grado del polinomio en cada paso. En integrales como \( \int e^{x}\cos x\,dx \), la fórmula se repite y la integral original reaparece del lado derecho, por lo que se despeja algebraicamente.
Ejemplo: Calcula \( \displaystyle\int x e^{2x}\,dx \).
Sea \( u=x \), \( dv=e^{2x}dx \), entonces \( du=dx \), \( v=\tfrac12 e^{2x}\). Así,
\[ \int x e^{2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\int \frac12 e^{2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac14 e^{2x}+C. \]
1. Calcula \( \displaystyle\int x^2 e^{x}\,dx \).
2. Calcula \( \displaystyle\int e^{x}\cos x\,dx \).
Para integrales de la forma \( \int \sin^m x\cos^n x\,dx \), si alguna potencia es impar se separa un factor de esa función y se usa \( \sin^2x+\cos^2x=1 \) para escribir el resto en términos de la otra función, dejando lista una sustitución simple. Si ambas potencias son pares, se usan las identidades de ángulo mitad \( \sin^2x=\tfrac{1-\cos2x}{2} \) y \( \cos^2x=\tfrac{1+\cos2x}{2} \). Para \( \int \tan^m x\sec^n x\,dx \), si la potencia de la secante es par se guarda un factor \( \sec^2x \) y se usa \( \sec^2x=1+\tan^2x \); si la potencia de la tangente es impar, se guarda un factor \( \sec x\tan x \) y se usa \( \tan^2x=\sec^2x-1 \).
Ejemplo: Calcula \( \displaystyle\int \sin^3x\cos^2x\,dx \).
Como la potencia del seno es impar, separamos un factor: \( \sin^3x=\sin x(1-\cos^2x) \). Con \( u=\cos x \), \( du=-\sin x\,dx \):
\[ \int \sin x(1-\cos^2x)\cos^2x\,dx=-\int (u^2-u^4)\,du=-\frac{\cos^3x}{3}+\frac{\cos^5x}{5}+C. \]
1. Calcula \( \displaystyle\int \cos^3x\sin^4x\,dx \).
2. Calcula \( \displaystyle\int \tan^3x\sec^4x\,dx \).
Cuando un integrando contiene \( \sqrt{a^2-x^2} \), la sustitución \( x=a\sin\theta \) convierte la raíz en \( a\cos\theta \) usando \( 1-\sin^2\theta=\cos^2\theta \). Cuando contiene \( \sqrt{a^2+x^2} \), se usa \( x=a\tan\theta \), pues \( 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta \). Cuando contiene \( \sqrt{x^2-a^2} \), se usa \( x=a\sec\theta \), pues \( \sec^2\theta-1=\tan^2\theta \). En los tres casos, tras integrar en términos de \( \theta \) hay que devolver el resultado a la variable original x usando un triángulo de referencia.
Ejemplo: Calcula \( \displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx \).
Como aparece \( \sqrt{4-x^2} \), sea \( x=2\sin\theta \), \( dx=2\cos\theta\,d\theta \), y \( \sqrt{4-x^2}=2\cos\theta \):
\[ \int \frac{4\sin^2\theta}{2\cos\theta}\cdot 2\cos\theta\,d\theta=4\int \sin^2\theta\,d\theta=2\theta-2\sin\theta\cos\theta+C. \]
Con \( \sin\theta=\tfrac{x}{2} \), \( \cos\theta=\tfrac{\sqrt{4-x^2}}{2} \) y \( \theta=\arcsin\!\big(\tfrac{x}{2}\big) \), el resultado es
\[ 2\arcsin\!\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C. \]
1. Calcula \( \displaystyle\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \).
2. Calcula \( \displaystyle\int \frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\,dx \), para \( x>3 \).
Cuando el denominador de una función racional (con el numerador de menor grado) se factoriza en factores lineales distintos \( (x-a_1)(x-a_2)\cdots \), la descomposición en fracciones parciales tiene la forma \( \dfrac{A_1}{x-a_1}+\dfrac{A_2}{x-a_2}+\cdots \), y cada constante se halla evaluando en \( x=a_i \) tras multiplicar por el denominador completo. Si un factor lineal se repite k veces, como \( (x-a)^k \), hay que incluir un término por cada potencia: \( \dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-a)^k} \). Una vez descompuesta la fracción, cada término se integra directamente: los de potencia 1 dan logaritmos y los de potencia mayor dan potencias negativas de \( (x-a) \).
Ejemplo: Calcula \( \displaystyle\int \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}\,dx \).
Escribimos \( \dfrac{3x+5}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2} \), de donde \( 3x+5=A(x+2)+B(x-1) \). Con \( x=1 \): \( 8=3A\Rightarrow A=\tfrac83 \). Con \( x=-2 \): \( -1=-3B\Rightarrow B=\tfrac13 \). Entonces
\[ \int \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}\,dx=\frac83\ln|x-1|+\frac13\ln|x+2|+C. \]
1. Calcula \( \displaystyle\int \frac{2x^2-5x-1}{x(x-1)(x+1)}\,dx \).
2. Calcula \( \displaystyle\int \frac{4x^2-x-1}{x^2(x-1)}\,dx \).
1. Considere la región acotada por \(y=x^2\), \(y=0\), \(x=2\). [24 pts.] a) (12 pts.) Halle el volumen al rotarla alrededor del eje X usando el método de discos. b) (12 pts.) Halle el volumen al rotarla alrededor del eje Y usando el método de capas cilíndricas.
2. Trabajo: [16 pts.] a) (8 pts.) Un resorte tiene longitud natural de 0.5 m. Se necesita una fuerza de 20 N para estirarlo a 0.6 m. Halle el trabajo hecho para estirarlo de 0.5 m a 0.65 m. b) (8 pts.) Una cadena de 8 pies de largo pesa 3 libras por pie, y cuelga del borde de un edificio. Halle el trabajo necesario para subir toda la cadena hasta el nivel del borde.
3. (10 pts.) Halle el valor promedio de \(f(x)=x^2+1\) en \([0,3]\), y halle un valor \(c\) en \((0,3)\) donde \(f(c)\) sea igual al valor promedio.
4. (10 pts.) Evalúe \(\displaystyle\int x^2 e^{3x}\,dx\) (requiere integración por partes dos veces).
5. Integrales trigonométricas: [12 pts.] a) (6 pts.) \(\displaystyle\int \sin^3x\cos^2x\,dx\) b) (6 pts.) \(\displaystyle\int \tan^4x\sec^2x\,dx\)
6. (12 pts.) Evalúe \(\displaystyle\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+9}}\) usando la sustitución \(x=3\tan\theta\).
7. (10 pts.) Evalúe \(\displaystyle\int \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}\,dx\) usando fracciones parciales.
8. (10 pts.) Evalúe \(\displaystyle\int \frac{x^2+1}{x(x-1)^2}\,dx\) usando fracciones parciales (factor lineal repetido).
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
Contenido real del segundo examen departamental: se completan las técnicas de integración, y se introduce una nueva forma de describir curvas — paramétrica y en coordenadas polares.
Cuando el denominador de una función racional contiene un factor cuadrático irreducible (uno que no se puede factorizar en factores lineales reales, como \(x^2+4\)), el término correspondiente en la descomposición no es una constante sobre ese factor, sino \(\dfrac{Ax+B}{x^2+bx+c}\); si ese factor cuadrático está repetido, elevado a una potencia \(n\), se necesita un término lineal por cada potencia de 1 a \(n\): \(\dfrac{A_1x+B_1}{x^2+bx+c}+\dfrac{A_2x+B_2}{(x^2+bx+c)^2}+\cdots\). Por otro lado, cuando el integrando no es racional pero contiene una raíz, como \(\sqrt{x}\) o \(\sqrt[n]{ax+b}\), una sustitución racionalizante \(t=\sqrt[n]{x}\) convierte todo el integrando en una función racional de \(t\), que ya se puede resolver con las técnicas anteriores. La clave está en despejar \(x\) en términos de \(t\) para reescribir tanto la función como \(dx\).
Ejemplo: Evalúa \(\displaystyle\int \frac{3x^2-5x+8}{(x-2)(x^2+1)}\,dx\).
Como \(x^2+1\) es irreducible, planteamos \(\dfrac{3x^2-5x+8}{(x-2)(x^2+1)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}\). Multiplicando por el denominador común: \(3x^2-5x+8=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-2)\). Con \(x=2\): \(12-10+8=A(5)\Rightarrow A=2\). Comparando coeficientes de \(x^2\): \(3=A+B\Rightarrow B=1\). Comparando el término constante: \(8=A-2C\Rightarrow 8=2-2C\Rightarrow C=-3\). Así:
\[\int \frac{3x^2-5x+8}{(x-2)(x^2+1)}\,dx=\int\left[\frac{2}{x-2}+\frac{x-3}{x^2+1}\right]dx=2\ln|x-2|+\tfrac12\ln(x^2+1)-3\arctan x+C\]
1. Encuentra la integral indefinida: \(\displaystyle\int \frac{2x^2+1}{(x+1)(x^2+2)}\,dx\)
2. Usa una sustitución racionalizante para hallar \(\displaystyle\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}\) (con \(x\ge 0\)).
No existe un algoritmo único para integrar: la habilidad central de esta sección es reconocer la forma del integrando antes de lanzarse a calcular. Antes de aplicar una técnica, pregúntate: ¿aparece una función junto con su derivada (sugiere sustitución)? ¿es un producto de funciones de tipo distinto (sugiere partes)? ¿es una función racional (sugiere fracciones parciales)? ¿hay una raíz de la forma \(\sqrt{a^2-x^2}\), \(\sqrt{a^2+x^2}\) o \(\sqrt{x^2-a^2}\) (sugiere sustitución trigonométrica)? Muchas veces dos integrandos que se ven casi idénticos requieren estrategias completamente distintas, y confundirlas lleva a cálculos innecesariamente largos.
Ejemplo: Compara \(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx\) con \(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx\).
En la primera, el numerador \(x\) es (salvo constante) la derivada de \(4-x^2\), así que basta la sustitución \(u=4-x^2\), \(du=-2x\,dx\): \(\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx=-\frac12\int u^{-1/2}du=-\sqrt{4-x^2}+C\). En la segunda no hay ese factor extra de \(x\), así que no es sustitución: es directamente la forma estándar \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin(x/a)+C\), dando \(\arcsin(x/2)+C\) sin necesidad de sustitución trigonométrica.
1. Encuentra la integral indefinida: \(\displaystyle\int x\cos(x^2)\,dx\)
2. Encuentra la integral indefinida: \(\displaystyle\int \tan^3x\sec x\,dx\)
Cuando una integral \(\int_a^b f(x)\,dx\) no tiene antiderivada elemental, se aproxima numéricamente. La Regla del Trapecio usa \[T_n=\dfrac{\Delta x}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]\] mientras la Regla de Simpson (con \(n\) par) usa \[S_n=\dfrac{\Delta x}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]\] donde \(\Delta x=\frac{b-a}{n}\). Simpson suele ser mucho más precisa porque aproxima el integrando con parábolas en vez de rectas. El error de cada regla está acotado: \(|E_T|\le \dfrac{K(b-a)^3}{12n^2}\) si \(|f''(x)|\le K\), y \(|E_S|\le \dfrac{K(b-a)^5}{180n^4}\) si \(|f^{(4)}(x)|\le K\).
Ejemplo: Aproxima \(\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx\) con \(n=4\) usando ambas reglas y compara con el valor real \(\ln 2\approx 0.69315\).
Con \(\Delta x=0.25\): \(x_0,\dots,x_4=1,1.25,1.5,1.75,2\) y \(f(x_i)=1,\,0.8,\,0.6667,\,0.5714,\,0.5\).
\(T_4=\frac{0.25}{2}\big[1+2(0.8)+2(0.6667)+2(0.5714)+0.5\big]=0.125(5.5762)\approx 0.6970\)
\(S_4=\frac{0.25}{3}\big[1+4(0.8)+2(0.6667)+4(0.5714)+0.5\big]=0.08333(8.3190)\approx 0.6933\)
Nota que \(S_4\) (error \(\approx 0.0001\)) es mucho más cercano a \(\ln2\) que \(T_4\) (error \(\approx 0.0038\)).
1. Usa la Regla del Trapecio con \(n=4\) para aproximar \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx\). Da \(T_4\) con dos decimales.
2. Sea \(f(x)=e^x\) en \([0,1]\), con \(|f^{(4)}(x)|\le e\) para todo \(x\) en \([0,1]\). Encuentra el menor \(n\) (par) tal que el error de la Regla de Simpson al aproximar \(\int_0^1 f(x)\,dx\) sea menor que \(0.0001\).
Una integral es impropia si el intervalo es infinito (Tipo 1) o si el integrando tiene una discontinuidad infinita dentro del intervalo (Tipo 2). En ambos casos se define como un límite: \(\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_a^t f(x)\,dx\), o \(\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{t\to c^\pm}\int_a^t f(x)\,dx\) si \(f\) es discontinua en \(c\). Si el límite existe (es un número finito), la integral converge; si no, diverge. Cuando no se puede evaluar la antiderivada directamente, el Teorema de Comparación permite decidir convergencia: si \(0\le f(x)\le g(x)\) en \([a,\infty)\) y \(\int_a^\infty g(x)\,dx\) converge, entonces \(\int_a^\infty f(x)\,dx\) también converge; si \(\int_a^\infty f(x)\,dx\) diverge, entonces \(\int_a^\infty g(x)\,dx\) también diverge.
Ejemplo: Determina si convergen \(\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx\) y \(\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\).
\(\int_1^\infty x^{-2}dx=\lim_{t\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^t=\lim_{t\to\infty}\left(1-\frac1t\right)=1\). Converge a 1 (Tipo 1).
\(\int_0^1 x^{-1/2}dx=\lim_{t\to 0^+}\left[2\sqrt{x}\right]_t^1=\lim_{t\to 0^+}(2-2\sqrt{t})=2\). Converge a 2, a pesar de la discontinuidad en \(x=0\) (Tipo 2).
1. Determina si \(\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^3}\,dx\) converge o diverge. Si converge, halla su valor.
2. Usa el Teorema de Comparación para determinar si \(\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\,dx\) converge o diverge, comparando con \(\dfrac{1}{x^{3/2}}\).
Para una curva suave \(y=f(x)\) en \([a,b]\), la longitud de arco es \(L=\displaystyle\int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\,dx\), que viene de sumar infinitos segmentos infinitesimales \(ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx\) (el equivalente continuo del teorema de Pitágoras). El reto casi nunca está en plantear la integral, sino en simplificar \(1+(y')^2\) hasta que la raíz sea manejable; muchas funciones del curso están diseñadas para que \(1+(y')^2\) resulte un cuadrado perfecto.
Ejemplo: Halla la longitud de arco de \(y=\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) para \(0\le x\le 3\).
\(y'=x^{1/2}\), así que \(1+(y')^2=1+x\). Entonces \(L=\displaystyle\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\frac23(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\frac23\big(4^{3/2}-1\big)=\frac23(8-1)=\frac{14}{3}\).
1. Encuentra la longitud de arco de \(y=\ln(\cos x)\) desde \(x=0\) hasta \(x=\dfrac{\pi}{4}\).
2. Encuentra la longitud de arco de \(y=\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{1}{2x}\) desde \(x=1\) hasta \(x=2\).
Si se rota alrededor del eje \(x\) la curva \(y=f(x)\ge 0\) en \([a,b]\), cada franja diferencial genera un anillo (tronco de cono) de radio \(y\) y "ancho" \(ds\), así que el área de la superficie es \(S=\displaystyle\int_a^b 2\pi y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\); si se rota alrededor del eje \(y\), se usa \(S=\displaystyle\int 2\pi x\sqrt{1+(y')^2}\,dx\). En esencia es la longitud de arco (Sección 8.1) pesada por la circunferencia \(2\pi(\text{radio})\) que traza cada punto.
Ejemplo: Halla el área de la superficie generada al rotar \(y=\sqrt{x}\), \(0\le x\le 1\), alrededor del eje \(x\).
\(y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), así que \(1+(y')^2=\dfrac{4x+1}{4x}\), y \(y\sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{x}\cdot\dfrac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{4x+1}}{2}\). Entonces:
\[S=2\pi\int_0^1 \frac{\sqrt{4x+1}}{2}\,dx=\pi\int_0^1\sqrt{4x+1}\,dx=\pi\left[\frac{(4x+1)^{3/2}}{6}\right]_0^1=\frac{\pi(5\sqrt5-1)}{6}\approx 5.33\]
1. Encuentra el área de la superficie generada al rotar \(y=\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{1}{2x}\) alrededor del eje \(x\), desde \(x=1\) hasta \(x=2\).
2. Encuentra el área de la superficie generada al rotar \(y=2x\) alrededor del eje \(x\), desde \(x=0\) hasta \(x=3\).
Una curva paramétrica describe \(x\) y \(y\) por separado en función de un parámetro \(t\): \(x=f(t)\), \(y=g(t)\). Para hallar su ecuación cartesiana se "elimina el parámetro": se despeja \(t\) de una ecuación y se sustituye en la otra (o se combina ambas con una identidad, como \(\cos^2t+\sin^2t=1\)). Además de la forma de la curva, el parámetro codifica una dirección de recorrido: a medida que \(t\) aumenta, el punto \((x,y)\) se mueve en un sentido específico, que se determina viendo cómo cambian \(x\) y \(y\) (o evaluando algunos puntos concretos).
Ejemplo: Elimina el parámetro de \(x=2t+1\), \(y=t^2-2\), \(-1\le t\le 2\), e indica la dirección de recorrido.
De \(x=2t+1\) se obtiene \(t=\dfrac{x-1}{2}\). Sustituyendo: \(y=\left(\dfrac{x-1}{2}\right)^2-2\), una parábola. Como \(\dfrac{dx}{dt}=2>0\) siempre, \(x\) crece constantemente al crecer \(t\); la curva va de \((-1,-1)\) (en \(t=-1\)) a \((5,2)\) (en \(t=2\)), trazándose de izquierda a derecha.
1. Elimina el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de \(x=\sqrt{t}\), \(y=1-t\), con \(t\ge 0\). Indica el dominio en \(x\) y la dirección en que se traza la curva.
2. Elimina el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de \(x=3\cos t\), \(y=3\sin t\), con \(0\le t\le \pi\). Indica la dirección en que se traza la curva.
Para una curva paramétrica, la pendiente de la tangente se obtiene con la regla de la cadena: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\) (siempre que \(dx/dt\ne 0\)). La concavidad requiere derivar de nuevo respecto a \(t\) y dividir otra vez entre \(dx/dt\): \(\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}\) — nunca se deriva \(dy/dx\) directamente respecto a \(x\). La longitud de arco de una curva paramétrica suave en \(t\in[\alpha,\beta]\) es \(L=\displaystyle\int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\).
Ejemplo: Para \(x=t^2\), \(y=t^3-3t\), halla la pendiente y la concavidad en \(t=1\).
\(\dfrac{dx}{dt}=2t\), \(\dfrac{dy}{dt}=3t^2-3\), así que \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-3}{2t}\); en \(t=1\): \(\dfrac{dy}{dx}=0\) (tangente horizontal). Simplificando \(\dfrac{dy}{dx}=\tfrac32 t-\tfrac32 t^{-1}\), su derivada respecto a \(t\) es \(\tfrac32+\tfrac{3}{2t^2}\); en \(t=1\) da 3, así que \(\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{3}{2t}\Big|_{t=1}=\dfrac32>0\): la curva es cóncava hacia arriba en el punto \((1,-2)\), que es un mínimo local.
1. Para \(x=t^3\), \(y=t^2+1\), halla \(\dfrac{dy}{dx}\) y \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) en \(t=2\).
2. Halla la longitud de arco de la curva \(x=\cos^3t\), \(y=\sin^3t\) para \(t\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\).
Un punto en coordenadas polares \((r,\theta)\) se relaciona con las coordenadas rectangulares mediante \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\), y en dirección inversa \(r^2=x^2+y^2\), \(\tan\theta=y/x\) (con cuidado del cuadrante). Ecuaciones sencillas como \(r=a\) (círculo centrado en el origen), \(\theta=c\) (recta por el origen), \(r=a+b\cos\theta\) o \(r=a+b\sin\theta\) (cardioides y limaçons), y \(r=a\cos(n\theta)\) o \(r=a\sin(n\theta)\) (rosas) producen curvas características. Para detectar simetría sin graficar: si la ecuación no cambia al sustituir \(\theta\) por \(-\theta\), es simétrica respecto al eje polar (eje \(x\)); si no cambia al sustituir \(\theta\) por \(\pi-\theta\), es simétrica respecto a la recta \(\theta=\pi/2\) (eje \(y\)); si no cambia al sustituir \(r\) por \(-r\), es simétrica respecto al polo.
Ejemplo: Convierte el punto polar \(\left(4,\dfrac{2\pi}{3}\right)\) a rectangular, y la ecuación \(r=4\cos\theta\) a rectangular.
Punto: \(x=4\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=4\left(-\dfrac12\right)=-2\), \(y=4\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=4\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=2\sqrt3\). Rectangular: \((-2,2\sqrt3)\).
Ecuación: multiplicando \(r=4\cos\theta\) por \(r\): \(r^2=4r\cos\theta \Rightarrow x^2+y^2=4x \Rightarrow (x-2)^2+y^2=4\), un círculo de radio 2 centrado en \((2,0)\).
1. Convierte el punto rectangular \((-1,\sqrt3)\) a coordenadas polares, con \(r>0\) y \(0\le\theta<2\pi\).
2. Determina si la curva \(r=2+2\sin\theta\) es simétrica respecto a la recta \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) (el eje \(y\)), y encuentra los valores de \(r\) cuando \(\theta=0\), \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) y \(\theta=\pi\).
El área de la región barrida por \(r=f(\theta)\) entre \(\theta=\alpha\) y \(\theta=\beta\) es \(A=\displaystyle\int_\alpha^\beta \frac12 r^2\,d\theta\), que viene de sumar sectores circulares infinitesimales de área \(\frac12 r^2 d\theta\) en vez de rectángulos. Al trabajar con pétalos de rosas u otras curvas cerradas, el paso clave es identificar el intervalo de \(\theta\) donde \(r\) traza exactamente una vuelta (o un pétalo) sin repetir región. La longitud de arco en polares es \(L=\displaystyle\int_\alpha^\beta \sqrt{r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\).
Ejemplo: Halla el área de un pétalo de la rosa \(r=3\cos(2\theta)\).
Un pétalo corresponde a \(\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]\) (donde \(r\) va de 0 a 3 y vuelve a 0). Usando \(\cos^2(2\theta)=\dfrac{1+\cos4\theta}{2}\):
\[A=\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}9\cos^2(2\theta)\,d\theta=\frac92\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{1+\cos4\theta}{2}\,d\theta=\frac94\left[\theta+\frac{\sin4\theta}{4}\right]_{-\pi/4}^{\pi/4}=\frac94\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{9\pi}{8}\]
1. Halla el área encerrada por un pétalo de la rosa \(r=2\sin(3\theta)\), para \(\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]\).
2. Halla la longitud de arco de la curva polar \(r=e^{\theta}\), para \(\theta\in[0,\ln 2]\).
1. (12 pts.) Evalúe \(\displaystyle\int \frac{3x}{(x-1)(x^2+4)}\,dx\) usando fracciones parciales (factor cuadrático irreducible).
2. Reconozca la técnica adecuada y evalúe: [10 pts.] a) (5 pts.) \(\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx\) b) (5 pts.) \(\displaystyle\int \frac{x}{1+x^4}\,dx\)
3. Considere \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) en \([0,2]\), con \(n=4\) subintervalos. [16 pts.] a) (8 pts.) Aproxime \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx\) usando la Regla del Trapecio. b) (8 pts.) Aproxime la misma integral usando la Regla de Simpson.
4. Determine si convergen o divergen, y evalúe si convergen: [14 pts.] a) (7 pts.) \(\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^3}\) b) (7 pts.) \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt x}\)
5. (10 pts.) Halle la longitud de arco de \(y=\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) desde \(x=0\) hasta \(x=3\).
6. (10 pts.) Halle el área de la superficie generada al rotar \(y=\sqrt x\), \(1\le x\le 4\), alrededor del eje X.
7. Sea la curva paramétrica \(x=t^2-1,\ y=t^3-t\). [12 pts.] a) (6 pts.) Halle \(dy/dx\) en términos de \(t\). b) (6 pts.) Halle los valores de \(t\) donde la tangente es horizontal, y donde es vertical.
8. (10 pts.) Convierta \(r=4\cos\theta\) a coordenadas rectangulares e identifique la curva.
9. (12 pts.) Halle el área encerrada por un pétalo de \(r=3\sin(2\theta)\).
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
El tercer examen departamental real evalúa exactamente esta unidad completa de sucesiones y series — el bloque más extenso y conceptualmente distinto del curso.
Una sucesión \( \{a_n\} \) es una función cuyo dominio son los enteros positivos; escribimos sus términos como \( a_1, a_2, a_3, \dots \). Decimos que \( \lim_{n\to\infty} a_n = L \) si los términos \( a_n \) se acercan arbitrariamente a \( L \) cuando \( n \) crece sin límite; si ese límite existe (y es finito), la sucesión converge, y si no, diverge. Una sucesión es monótona creciente si \( a_n \le a_{n+1} \) para todo \( n \), y monótona decreciente si \( a_n \ge a_{n+1} \) para todo \( n \); es acotada si existe \( M \) tal que \( |a_n| \le M \) para todo \( n \). El Teorema de la Sucesión Monótona garantiza que toda sucesión monótona y acotada converge, aunque no siempre indica el valor exacto del límite.
Ejemplo: Analice la sucesión \( a_n = \dfrac{2n^2}{n^2+1} \). Escribiendo \( a_n = 2 - \dfrac{2}{n^2+1} \), vemos que al aumentar \( n \) el término \( \dfrac{2}{n^2+1} \) disminuye, así que \( a_n \) es creciente; además \( a_n < 2 \) para todo \( n \), así que está acotada superiormente por 2. Por el Teorema de la Sucesión Monótona, la sucesión converge. Para hallar el límite, dividimos numerador y denominador entre \( n^2 \): \[ \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2}{n^2+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{1+1/n^2} = \frac{2}{1+0} = 2. \] Así, \( a_n \to 2 \).
1. Determine si la sucesión \( a_n = \dfrac{5n-2}{3n+4} \) converge o diverge. Si converge, halle su límite. Justifique su respuesta.
2. Determine si la sucesión \( a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \) converge o diverge. Si converge, halle su límite.
Dada una sucesión \( \{a_n\} \), la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) se define mediante la sucesión de sumas parciales \( s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \); la serie converge a \( S \) si \( \lim_{n\to\infty} s_n = S \). Una serie geométrica \( \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \) converge si y solo si \( |r|<1 \), y en ese caso su suma es \( \dfrac{a}{1-r} \); si \( |r|\ge 1 \) diverge. Una condición necesaria (pero no suficiente) para que \( \sum a_n \) converja es que \( \lim_{n\to\infty} a_n = 0 \); si ese límite no es 0 (o no existe), la serie diverge de inmediato por la Prueba de Divergencia.
Ejemplo: Determine si la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1} \) converge, y si es así, halle su suma. Es una serie geométrica con \( a=3 \) y \( r=\frac14 \); como \( |r|=\frac14<1 \), converge, y \[ \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac14\right)^{n-1} = \frac{3}{1-\frac14} = \frac{3}{3/4} = 4. \] Por otro lado, la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{n+1} \) diverge, pues \( \lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{n+1} = 1 \ne 0 \); al no cumplirse la condición necesaria, la Prueba de Divergencia garantiza que la serie diverge.
1. Determine si la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 5\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \) converge; si converge, halle su suma.
2. Use la Prueba de Divergencia para determinar si la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2+1}{n^2+2} \) converge o diverge.
La Prueba de la Integral establece que si \( f \) es una función positiva, continua y decreciente en \( [1,\infty) \) con \( f(n)=a_n \), entonces la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) y la integral impropia \( \int_1^{\infty} f(x)\,dx \) convergen o divergen simultáneamente. Un caso particular muy usado es la p-serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p} \), la cual converge si \( p>1 \) y diverge si \( p\le 1 \) (el caso \( p=1 \) es la serie armónica). Esta prueba es útil cuando \( a_n \) proviene de una función fácil de integrar.
Ejemplo: Determine si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1} \) converge. Sea \( f(x)=\dfrac{1}{x^2+1} \), positiva, continua y decreciente en \( [1,\infty) \). Calculamos \[ \int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2+1} = \lim_{t\to\infty}\Big[\arctan x\Big]_1^{t} = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \] que es finita. Como la integral converge, por la Prueba de la Integral la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1} \) también converge.
1. Use la Prueba de la Integral para determinar si la serie \( \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^2} \) converge o diverge.
2. Determine si la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} \) converge o diverge, identificando el valor de \( p \) y justificando su respuesta.
La Prueba de Comparación Directa dice que si \( 0\le a_n\le b_n \) para todo \( n \) suficientemente grande y \( \sum b_n \) converge, entonces \( \sum a_n \) también converge; si en cambio \( \sum a_n \) diverge y \( b_n\ge a_n\ge 0 \), entonces \( \sum b_n \) diverge. Cuando no es fácil establecer una desigualdad limpia, se usa la Prueba de Comparación en el Límite: si \( a_n, b_n>0 \) y \( \lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}=c \) con \( 0<c<\infty \), entonces \( \sum a_n \) y \( \sum b_n \) convergen o divergen juntas. En la práctica se compara con una p-serie o una serie geométrica cuyo comportamiento ya se conoce.
Ejemplo: Determine si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+3n+1} \) converge. Como \( n^2+3n+1>n^2 \) para todo \( n\ge 1 \), se tiene \[ 0<\frac{1}{n^2+3n+1}<\frac{1}{n^2}. \] La serie \( \sum \dfrac{1}{n^2} \) es una p-serie con \( p=2>1 \), así que converge. Por la Prueba de Comparación Directa, la serie dada también converge.
1. Use la Prueba de Comparación Directa para determinar si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3+2} \) converge o diverge.
2. Use la Prueba de Comparación en el Límite para determinar si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^3-n+4} \) converge o diverge.
Una serie alternada tiene la forma \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n \) con \( b_n>0 \). La Prueba de Series Alternadas (Leibniz) garantiza que la serie converge si \( \{b_n\} \) es decreciente (al menos eventualmente) y \( \lim_{n\to\infty} b_n=0 \). Cuando la serie converge por esta prueba, el error al aproximar la suma \( S \) con la suma parcial \( s_n \) está acotado por el primer término omitido: \( |S-s_n|\le b_{n+1} \). Esto permite determinar cuántos términos se necesitan para lograr una precisión deseada sin conocer el valor exacto de la suma.
Ejemplo: Muestre que \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \) converge y estime el error al usar los primeros 4 términos. Aquí \( b_n=\dfrac1{n^2} \) es decreciente y \( b_n\to 0 \), así que converge por la Prueba de Series Alternadas. El error al truncar en \( n=4 \) satisface \[ |S-s_4|\le b_5 = \frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}=0.04. \]
1. Use la Prueba de Series Alternadas para determinar si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{n^2+1} \) converge.
2. ¿Cuántos términos se necesitan para aproximar la suma de \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} \) con un error menor que 0.001? Justifique con el estimado del error de la Prueba de Series Alternadas.
Una serie \( \sum a_n \) converge absolutamente si \( \sum |a_n| \) converge; en ese caso, la serie original también converge. Si \( \sum a_n \) converge pero \( \sum |a_n| \) diverge, se dice que converge condicionalmente. La Prueba de la Razón calcula \( L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \): si \( L<1 \) la serie converge absolutamente, si \( L>1 \) (o \( L=\infty \)) diverge, y si \( L=1 \) la prueba no decide. La Prueba de la Raíz es análoga con \( L=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \), y es especialmente útil cuando \( a_n \) contiene una potencia \( n \)-ésima completa.
Ejemplo (prueba de la razón): Determine si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!} \) converge. Como todos los términos son positivos, basta ver convergencia ordinaria: \[ L=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{3^{n+1}/(n+1)!}{3^n/n!} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1}=0<1, \] así que converge absolutamente por la Prueba de la Razón.
Ejemplo (prueba de la raíz): Para \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n+1}{3n+2}\right)^n \), \[ L=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{2n+1}{3n+2}\right)^n\right|} = \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+2}=\frac{2}{3}<1, \] así que converge absolutamente por la Prueba de la Raíz.
1. Use la Prueba de la Razón para determinar si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\, n!}{3^n} \) converge o diverge.
2. Use la Prueba de la Raíz para determinar si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n+5}\right)^n \) converge o diverge.
Ante una serie desconocida conviene seguir un orden de análisis: primero revisar si el término general tiende a 0 (si no, diverge por la Prueba de Divergencia); si es una serie geométrica o contiene factoriales o potencias \( n \)-ésimas, probar la Prueba de la Razón o la Raíz; si los términos son cocientes de polinomios (o expresiones que se comportan como tales para \( n \) grande), comparar con una p-serie usando la Prueba de Comparación en el Límite; si \( a_n=f(n) \) con \( f \) fácil de integrar, usar la Prueba de la Integral; y si hay signos alternantes, aplicar la Prueba de Series Alternadas. Identificar el comportamiento dominante del término general (qué potencia de \( n \) domina) es la clave para elegir rápido la comparación correcta.
Ejemplo: Determine si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{n^4+3n} \) converge. El numerador es de orden \( n^2 \) y el denominador de orden \( n^4 \), así que el término se comporta como \( \dfrac{1}{n^2} \) para \( n \) grande; esto sugiere comparar con \( b_n=\dfrac1{n^2} \) mediante la Prueba de Comparación en el Límite: \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n^2+1)n^2}{n^4+3n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^4+n^2}{n^4+3n}=1. \] Como \( 0<1<\infty \) y \( \sum \dfrac1{n^2} \) converge (\( p=2>1 \)), la serie dada converge.
1. Determine si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n^3+1}} \) converge o diverge, indicando qué prueba usa y por qué es la adecuada.
2. Determine si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n\cdot 4^n} \) converge o diverge, indicando qué prueba es más eficiente para este caso.
Una serie de potencias centrada en \( a \) tiene la forma \( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n \). Para cada serie de potencias existe un radio de convergencia \( R \) (posiblemente \( 0 \) o \( \infty \)) tal que la serie converge absolutamente si \( |x-a|<R \) y diverge si \( |x-a|>R \); usualmente \( R \) se calcula aplicando la Prueba de la Razón (o la Raíz) a los términos de la serie. El intervalo de convergencia es el conjunto de todos los \( x \) para los cuales la serie converge, y se obtiene tomando \( (a-R,a+R) \) y examinando por separado, con otra prueba (como la de series alternadas o la de p-series), qué ocurre en cada extremo \( x=a-R \) y \( x=a+R \).
Ejemplo: Halle el radio y el intervalo de convergencia de \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n\cdot 3^n} \). Aplicando la Prueba de la Razón: \[ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{|x-2|}{3}\cdot\frac{n}{n+1} = \frac{|x-2|}{3}. \] La serie converge cuando \( \dfrac{|x-2|}{3}<1 \), es decir \( |x-2|<3 \), así que \( R=3 \) y el intervalo candidato es \( (-1,5) \). En \( x=-1 \): la serie es \( \sum \dfrac{(-1)^n}{n} \), que converge (condicionalmente) por la Prueba de Series Alternadas. En \( x=5 \): la serie es \( \sum \dfrac1n \), la serie armónica, que diverge. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es \( [-1,5) \).
1. Halle el radio y el intervalo de convergencia de \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n^2} \).
2. Halle el radio y el intervalo de convergencia de \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x+1)^n}{2^n} \).
Partiendo de la serie geométrica \( \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n \), válida para \( |x|<1 \), se pueden obtener representaciones en serie de potencias de muchas otras funciones mediante sustitución, multiplicación por una potencia de \( x \), o derivación e integración término a término. Si \( f(x)=\sum c_n x^n \) tiene radio de convergencia \( R \), entonces \( f'(x)=\sum n c_n x^{n-1} \) y \( \int f(x)\,dx = \sum \dfrac{c_n}{n+1}x^{n+1}+C \) también tienen radio de convergencia \( R \), aunque el comportamiento en los extremos del intervalo puede cambiar. Esta técnica permite construir series para funciones como \( \ln(1+x) \), \( \arctan x \), o \( \dfrac{1}{(1-x)^2} \) sin calcular derivadas de orden superior.
Ejemplo: Halle una representación en serie de potencias de \( f(x)=\dfrac{x}{4+x^2} \) y su intervalo de convergencia. Escribimos \[ \frac{x}{4+x^2} = \frac{x}{4}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{4}} = \frac{x}{4}\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{x^2}{4}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{4^{n+1}}, \] válida cuando \( \left|\dfrac{x^2}{4}\right|<1 \), es decir \( |x|<2 \). El intervalo de convergencia es \( (-2,2) \).
1. Derivando término a término la serie \( \dfrac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^n \), halle una representación en serie de potencias de \( f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2} \) e indique su intervalo de convergencia.
2. Integrando término a término la serie \( \dfrac{1}{1+x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \), halle una representación en serie de potencias de \( g(x)=\ln(1+x) \) e indique su intervalo de convergencia.
1. (10 pts.) Determine si la sucesión \(a_n=\dfrac{3n^2+1}{n^2+2n}\) converge o diverge; si converge, halle su límite.
2. [16 pts.] a) (8 pts.) Determine si \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}5\left(\frac23\right)^n\) converge; si es así, halle su suma. b) (8 pts.) Determine si \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\) converge o diverge, usando la condición necesaria del término general.
3. (10 pts.) Use la prueba de la integral para determinar si \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^2}\) converge o diverge.
4. (12 pts.) Use la prueba de comparación directa para determinar si \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3+2n}\) converge o diverge.
5. Series alternadas: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n+3}\). [12 pts.] a) (6 pts.) Determine si converge, usando la Prueba de Series Alternadas. b) (6 pts.) Estime el error si se aproxima la suma con los primeros 4 términos.
6. [14 pts.] a) (7 pts.) Use la prueba de la razón para determinar si \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{3^n}\) converge o diverge. b) (7 pts.) Use la prueba de la raíz para determinar si \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n\) converge o diverge.
7. (10 pts.) Determine si \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+1}{n^4+3}\) converge o diverge, justificando la prueba que elige.
8. (14 pts.) Halle el radio y el intervalo de convergencia de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{n\cdot 3^n}\).
9. (12 pts.) Halle una representación en serie de potencias para \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\), y úsela para hallar la serie de \(\arctan(x)\).
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
El cuarto examen departamental real combina el cierre de la unidad de series (Taylor y Maclaurin) con el inicio de una unidad totalmente nueva: vectores en el espacio tridimensional.
La serie de Taylor de una función \( f \) alrededor de \( x=a \) es \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \), siempre que \( f \) tenga derivadas de todos los órdenes en \( a \) y la serie converja a \( f(x) \). Cuando \( a=0 \) la serie se llama serie de Maclaurin. Para construirlas con rapidez conviene memorizar cuatro desarrollos básicos: \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \), \( \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \), \( \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \) y \( \dfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \) para \( |x|<1 \). A partir de estas series conocidas se generan muchas otras por sustitución, multiplicación por \( x^k \) o derivación/integración término a término, sin calcular derivadas de orden superior.
Ejemplo: Encuentra la serie de Maclaurin de \( f(x) = xe^x \) usando la serie conocida de \( e^x \).
Como \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!} \), multiplicamos por \( x \): \[ xe^x = x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}. \] Con el cambio de índice \( m=n+1 \) (desde \( m=1 \)): \[ xe^x = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^{m}}{(m-1)!} = x + x^2 + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{6} + \cdots \]
1. Encuentra la serie de Maclaurin de \( f(x)=\cos(x^2) \) usando la serie conocida de \( \cos x \). Escribe los primeros tres términos no nulos y el término general.
2. Usa la serie geométrica \( \dfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \) para hallar la serie de Maclaurin de \( f(x) = \dfrac{x^3}{1-x^2} \). Da el término general y el intervalo de convergencia.
El polinomio de Taylor de grado \( n \) para \( f \) en \( a \), \( T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \), es la suma parcial de la serie de Taylor y aproxima \( f(x) \) cerca de \( a \) sin sumar infinitos términos. La diferencia entre el valor real y la aproximación es el residuo \( R_n(x)=f(x)-T_n(x) \). El Teorema de Taylor (desigualdad de Taylor) garantiza que si \( |f^{(n+1)}(x)|\le M \) para todo \( x \) entre \( a \) y el punto de interés, entonces \( |R_n(x)| \le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} \). Esta cota permite saber qué tan buena es una aproximación polinomial sin conocer el valor exacto de \( f \).
Ejemplo: Aproxima \( e^{0.2} \) usando el polinomio de Taylor de grado 3 de \( f(x)=e^x \) centrado en \( a=0 \), y acota el error cometido.
Como todas las derivadas de \( e^x \) son \( e^x \), \[ T_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}. \] Evaluando en \( x=0.2 \): \[ T_3(0.2) = 1 + 0.2 + 0.02 + 0.00133\overline{3} \approx 1.221333. \] Para el error usamos \( f^{(4)}(x)=e^x \); como \( 0\le x\le 0.2 \), se cumple \( e^x < e < 3 \), así que \( M=3 \) es una cota válida: \[ |R_3(0.2)| \le \frac{3}{4!}(0.2)^4 = \frac{3}{24}(0.0016) = 0.0002. \] Luego \( e^{0.2}\approx 1.2213 \) con error menor que \( 0.0002 \) (el valor real es \( e^{0.2}\approx 1.221403 \)).
1. a) Encuentra el polinomio de Taylor de grado 3 para \( f(x)=\sin x \) centrado en \( a=0 \). b) Úsalo para aproximar \( \sin(0.3) \). c) Sabiendo que \( |f^{(4)}(x)|\le 1 \) para todo \( x \), da una cota superior para el error \( |R_3(0.3)| \).
2. a) Encuentra el polinomio de Taylor de grado 2 para \( f(x)=\cos x \) centrado en \( a=0 \). b) Úsalo para aproximar \( \cos(0.1) \). c) Sabiendo que \( |f'''(x)|\le 1 \) para todo \( x \), da una cota superior para el error \( |R_2(0.1)| \).
El espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) se describe con tres ejes perpendiculares \( x \), \( y \), \( z \) que se cortan en el origen, dividiendo el espacio en ocho octantes. La distancia entre dos puntos \( P_1(x_1,y_1,z_1) \) y \( P_2(x_2,y_2,z_2) \) extiende el teorema de Pitágoras: \( |P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \). Una esfera es el conjunto de puntos a una distancia fija \( r \) (el radio) de un punto fijo \( (h,k,l) \) (el centro), con ecuación \( (x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=r^2 \). Si al expandir se obtiene una ecuación de la forma \( x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0 \), completando el cuadrado se recupera el centro y el radio.
Ejemplo: Halla la distancia entre \( P(1,-2,3) \) y \( Q(4,2,-1) \), y la ecuación de la esfera que tiene a \( \overline{PQ} \) como diámetro.
\[ |PQ| = \sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2+(-1-3)^2} = \sqrt{9+16+16} = \sqrt{41}. \] El centro es el punto medio de \( PQ \): \[ \left(\frac{1+4}{2}, \frac{-2+2}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 0, 1\right), \] y el radio es la mitad del diámetro: \( r=\dfrac{\sqrt{41}}{2} \), o sea \( r^2=\dfrac{41}{4} \). La ecuación de la esfera es \[ \left(x-\frac{5}{2}\right)^2 + y^2 + (z-1)^2 = \frac{41}{4}. \]
1. Dados los puntos \( A(0,3,-2) \) y \( B(4,-1,2) \): a) Halla la distancia \( |AB| \). b) Encuentra la ecuación de la esfera que tiene a \( \overline{AB} \) como diámetro.
2. Determina si la ecuación \( x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0 \) representa una esfera. Si es así, halla su centro y su radio.
Un vector en el espacio se escribe \( \vec{v} = \langle a, b, c \rangle \) y describe una magnitud y una dirección, a diferencia de un escalar que solo tiene magnitud. Su magnitud es \( |\vec{v}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \). La suma, la resta y la multiplicación por un escalar \( k \) se hacen componente a componente: \( \vec{u}+\vec{v} = \langle u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3\rangle \), \( \vec{u}-\vec{v} = \langle u_1-v_1, u_2-v_2, u_3-v_3\rangle \) y \( k\vec{v} = \langle ka, kb, kc\rangle \). Un vector unitario tiene magnitud 1; para hallar el vector unitario en la dirección de \( \vec{v}\neq\vec{0} \) se divide entre su propia magnitud: \( \hat{v} = \dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \).
Ejemplo: Dados \( \vec{u} = \langle 3,-1,2 \rangle \) y \( \vec{v} = \langle -2,4,1 \rangle \), calcula \( 2\vec{u}-\vec{v} \) y el vector unitario en la dirección de \( \vec{u} \).
\[ 2\vec{u} = \langle 6,-2,4 \rangle \;\Rightarrow\; 2\vec{u}-\vec{v} = \langle 6-(-2),\,-2-4,\,4-1 \rangle = \langle 8,-6,3 \rangle. \] Además \( |\vec{u}| = \sqrt{3^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{14} \), así que \[ \hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \left\langle \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}} \right\rangle. \]
1. Dados \( \vec{a} = \langle 1,2,-2 \rangle \) y \( \vec{b} = \langle -3,0,4 \rangle \): a) Halla \( |\vec{a}| \). b) Calcula \( \vec{a}+3\vec{b} \). c) Encuentra el vector unitario en la dirección de \( \vec{a}+3\vec{b} \).
2. Un vector \( \vec{w} \) tiene punto inicial \( P(2,-1,3) \) y punto terminal \( Q(-1,4,0) \). a) Halla la forma en componentes de \( \vec{w} \). b) Calcula \( |\vec{w}| \). c) Encuentra un vector de longitud 5 con la misma dirección que \( \vec{w} \).
El producto punto (o escalar) de \( \vec{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle \) y \( \vec{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle \) se define algebraicamente como \( \vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \), y el resultado es un número, no un vector. Geométricamente, \( \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \), donde \( \theta \) es el ángulo entre los vectores, lo que permite despejar \( \cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \) y detectar vectores ortogonales (\( \vec{a}\cdot\vec{b}=0 \)). La proyección escalar de \( \vec{b} \) sobre \( \vec{a} \) es \( \operatorname{comp}_{\vec{a}}\vec{b} = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} \), y la proyección vectorial es ese escalar multiplicado por el vector unitario de \( \vec{a} \): \( \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b} = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} \).
Ejemplo: Dados \( \vec{a}=\langle 2,-1,3\rangle \) y \( \vec{b}=\langle 1,4,-2\rangle \), halla \( \vec{a}\cdot\vec{b} \), el ángulo entre ellos y la proyección escalar de \( \vec{b} \) sobre \( \vec{a} \).
\[ \vec{a}\cdot\vec{b} = (2)(1)+(-1)(4)+(3)(-2) = 2-4-6=-8. \] Como \( |\vec{a}|=\sqrt{14} \) y \( |\vec{b}|=\sqrt{21} \), \[ \cos\theta = \frac{-8}{\sqrt{14}\sqrt{21}} = \frac{-8}{\sqrt{294}} \approx -0.4666 \;\Rightarrow\; \theta \approx 117.8^\circ. \] La proyección escalar es \[ \operatorname{comp}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{-8}{\sqrt{14}} \approx -2.14. \]
1. Dados \( \vec{u}=\langle 3,0,-4\rangle \) y \( \vec{v}=\langle 1,2,2\rangle \): a) Calcula \( \vec{u}\cdot\vec{v} \). b) Determina si \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos cosas. c) Halla el ángulo entre \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \), redondeado al grado más cercano.
2. Dados \( \vec{a}=\langle 4,-2,1\rangle \) y \( \vec{b}=\langle 1,3,-2\rangle \): a) Halla la proyección escalar de \( \vec{b} \) sobre \( \vec{a} \). b) Halla la proyección vectorial de \( \vec{b} \) sobre \( \vec{a} \).
El producto cruz de \( \vec{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle \) y \( \vec{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle \) es el vector \[ \vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \langle a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1 \rangle. \] A diferencia del producto punto, el resultado es un vector, y ese vector es ortogonal tanto a \( \vec{a} \) como a \( \vec{b} \). Geométricamente, \( |\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \) es el área del paralelogramo determinado por \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \). El triple producto escalar \( \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) \), calculado con un determinante \( 3\times 3 \), da el volumen (con signo) del paralelepípedo determinado por los tres vectores; su valor absoluto es el volumen real.
Ejemplo: Dados \( \vec{a}=\langle 1,2,3\rangle \) y \( \vec{b}=\langle 0,1,4\rangle \), halla \( \vec{a}\times\vec{b} \) y el área del paralelogramo que determinan.
\[ \vec{a}\times\vec{b} = \langle (2)(4)-(3)(1),\; (3)(0)-(1)(4),\; (1)(1)-(2)(0) \rangle = \langle 5,-4,1\rangle. \] El área del paralelogramo es \[ |\vec{a}\times\vec{b}| = \sqrt{5^2+(-4)^2+1^2} = \sqrt{42}. \]
1. Dados \( \vec{u}=\langle 2,-1,0\rangle \) y \( \vec{v}=\langle 1,3,-2\rangle \): a) Calcula \( \vec{u}\times\vec{v} \). b) Verifica que \( \vec{u}\times\vec{v} \) es ortogonal a \( \vec{u} \) y a \( \vec{v} \) calculando los productos punto correspondientes. c) Halla el área del paralelogramo determinado por \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \).
2. Dados \( \vec{a}=\langle 1,0,-1\rangle \), \( \vec{b}=\langle 2,1,0\rangle \) y \( \vec{c}=\langle 0,3,1\rangle \), halla el volumen del paralelepípedo que determinan usando el triple producto escalar \( \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) \).
1. [16 pts.] a) (8 pts.) Halle los primeros 4 términos no nulos de la serie de Maclaurin para \(f(x)=e^{2x}\). b) (8 pts.) Halle los primeros 4 términos no nulos de la serie de Taylor para \(f(x)=\ln x\) centrada en \(a=1\).
2. (14 pts.) Use el polinomio de Taylor de grado 3 para \(f(x)=\cos x\) centrado en 0 para aproximar \(\cos(0.3)\), y estime el error usando el Teorema de Taylor.
3. (10 pts.) Halle la distancia entre los puntos \(P(1,-2,3)\) y \(Q(4,0,-1)\), y halle el punto medio del segmento \(PQ\).
4. Sean \(\vec{a}=\langle2,-1,3\rangle\) y \(\vec{b}=\langle-1,4,2\rangle\). [16 pts.] a) (8 pts.) Halle \(\vec{a}+2\vec{b}\) y \(|\vec{a}|\). b) (8 pts.) Halle un vector unitario en la misma dirección que \(\vec{v}=\langle3,-4,0\rangle\).
5. [16 pts.] a) (8 pts.) Halle \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) y el ángulo entre \(\vec{a}=\langle1,2,2\rangle\) y \(\vec{b}=\langle2,0,-1\rangle\). b) (8 pts.) Halle la proyección escalar y vectorial de \(\vec{a}=\langle3,4\rangle\) sobre \(\vec{b}=\langle1,0\rangle\).
6. [16 pts.] a) (8 pts.) Halle \(\vec{a}\times\vec{b}\) para \(\vec{a}=\langle1,2,-1\rangle\), \(\vec{b}=\langle3,0,2\rangle\). b) (8 pts.) Halle el área del paralelogramo determinado por \(\vec{a}=\langle2,1,0\rangle\) y \(\vec{b}=\langle0,3,1\rangle\).
7. (16 pts.) Halle el volumen del paralelepípedo determinado por \(\vec{a}=\langle1,0,2\rangle\), \(\vec{b}=\langle0,1,1\rangle\), \(\vec{c}=\langle2,1,0\rangle\), usando el triple producto escalar.
Se acabó el tiempo. Revisa tus respuestas arriba y repite cuando quieras.
Esta sección solo se evalúa en el examen final (no tiene parcial propio) — culmina el curso extendiendo los vectores a rectas y planos en el espacio, y luego a funciones vectoriales que describen curvas y movimiento en 3D.
Una recta en el espacio queda determinada por un punto \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) que pertenece a ella y un vector director \(\vec{v}=\langle a,b,c\rangle\) paralelo a la recta. La ecuación vectorial es \(\vec{r}(t)=\vec{r_0}+t\vec{v}\), de donde se obtienen las ecuaciones paramétricas \(x=x_0+at\), \(y=y_0+bt\), \(z=z_0+ct\), y si \(a,b,c\neq 0\), las ecuaciones simétricas \(\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\). Un plano queda determinado por un punto \(P_0\) y un vector normal \(\vec{n}=\langle a,b,c\rangle\) perpendicular a él; todo punto \(P(x,y,z)\) del plano satisface \(\vec{n}\cdot \overrightarrow{P_0P}=0\), lo cual produce la ecuación escalar \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\), que se simplifica a la forma \(ax+by+cz=d\).
Ejemplo: Halla las ecuaciones (vectorial, paramétricas y simétricas) de la recta que pasa por \(P_0(1,-2,3)\) con vector director \(\vec{v}=\langle 2,1,-1\rangle\), y la ecuación del plano que pasa por el mismo punto con vector normal \(\vec{n}=\langle 3,-1,2\rangle\).
Recta — vectorial: \[\vec{r}(t)=\langle 1,-2,3\rangle+t\langle 2,1,-1\rangle\] Paramétricas: \(x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=3-t\). Simétricas: \[\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-1}\]
Plano: \[3(x-1)-1(y+2)+2(z-3)=0\] \[3x-3-y-2+2z-6=0 \implies 3x-y+2z=11\]
1. Encuentra la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto \(P_0(2,0,-1)\) y es paralela al vector \(\vec{v}=\langle -1,3,2\rangle\).
2. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto \(P_0(-1,4,2)\) y tiene vector normal \(\vec{n}=\langle 2,-3,5\rangle\). Escribe tu respuesta en la forma \(ax+by+cz=d\).
Una función vectorial \(\vec{r}(t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle\) asigna a cada número real \(t\) un vector en \(\mathbb{R}^3\); su dominio es la intersección de los dominios de \(f\), \(g\) y \(h\). El límite se calcula componente a componente: \(\lim_{t\to a}\vec{r}(t)=\left\langle \lim_{t\to a}f(t),\ \lim_{t\to a}g(t),\ \lim_{t\to a}h(t)\right\rangle\), siempre que los tres límites existan. La función es continua en \(t=a\) si \(\lim_{t\to a}\vec{r}(t)=\vec{r}(a)\), lo cual equivale a que \(f\), \(g\) y \(h\) sean continuas en \(a\). Geométricamente, al variar \(t\) el extremo del vector \(\vec{r}(t)\) traza una curva \(C\) en el espacio; por ejemplo, \(\vec{r}(t)=\langle 2\cos t,\ 2\sin t,\ t\rangle\) traza una hélice de radio 2 que sube conforme \(t\) aumenta.
Ejemplo: Sea \(\vec{r}(t)=\left\langle \dfrac{t-1}{t+2},\ \sqrt{4-t^2},\ e^{t}\right\rangle\). (a) Halla el dominio de \(\vec{r}(t)\). (b) Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to 1}\vec{r}(t)\).
(a) La primera componente requiere \(t\neq -2\); la segunda requiere \(4-t^2\geq 0\), es decir \(-2\leq t\leq 2\); la tercera está definida para todo \(t\). Intersecando estas condiciones: \[\text{Dominio: }(-2,\,2]\]
(b) Como \(t=1\) pertenece al dominio, se evalúa cada componente: \[\frac{1-1}{1+2}=0,\qquad \sqrt{4-1^2}=\sqrt{3},\qquad e^{1}=e\] Por lo tanto \[\lim_{t\to 1}\vec{r}(t)=\langle 0,\ \sqrt{3},\ e\rangle=\vec{r}(1)\] lo que confirma que \(\vec{r}\) es continua en \(t=1\).
1. Halla el dominio de la función vectorial \(\vec{r}(t)=\left\langle \ln(5-t),\ \sqrt{t+3},\ \dfrac{1}{t}\right\rangle\).
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to 2}\left\langle \dfrac{t^2-4}{t-2},\ \cos(\pi t),\ \sqrt{t+7}\right\rangle\).
La derivada de una función vectorial se define componente a componente: \(\vec{r}'(t)=\langle f'(t),g'(t),h'(t)\rangle\), y si \(\vec{r}'(t)\neq \vec{0}\), este vector es tangente a la curva en el punto \(\vec{r}(t)\) y apunta en la dirección de movimiento. Las reglas de derivación (suma, múltiplo escalar, producto por función escalar, producto punto, producto cruz y regla de cadena) se comportan igual que para funciones reales, aplicándose componente a componente o mediante las reglas del producto correspondientes. La integral de una función vectorial también se calcula componente a componente: \(\int \vec{r}(t)\,dt=\left\langle \int f(t)\,dt,\ \int g(t)\,dt,\ \int h(t)\,dt\right\rangle+\vec{C}\), donde \(\vec{C}\) es un vector constante de integración. Esto permite resolver problemas de posición y velocidad dados la aceleración o velocidad y una condición inicial.
Ejemplo: Sea \(\vec{r}(t)=\langle t^3,\ \sin(2t),\ e^{-t}\rangle\). Halla \(\vec{r}'(t)\) y el vector tangente unitario \(\vec{T}(0)\).
Derivando cada componente: \[\vec{r}'(t)=\langle 3t^2,\ 2\cos(2t),\ -e^{-t}\rangle\] Evaluando en \(t=0\): \[\vec{r}'(0)=\langle 0,\ 2,\ -1\rangle\]
La magnitud es \(|\vec{r}'(0)|=\sqrt{0^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\), así que \[\vec{T}(0)=\frac{\vec{r}'(0)}{|\vec{r}'(0)|}=\left\langle 0,\ \frac{2}{\sqrt{5}},\ -\frac{1}{\sqrt{5}}\right\rangle\]
1. Halla \(\vec{r}'(t)\) si \(\vec{r}(t)=\left\langle t^2\sin(t),\ \ln(t^2+1),\ \sqrt{t+4}\right\rangle\).
2. Si \(\vec{r}'(t)=\langle 6t,\ 3t^2,\ 4\cos(2t)\rangle\) y \(\vec{r}(0)=\langle 1,-2,0\rangle\), halla \(\vec{r}(t)\).
1. Repaso de técnicas de integración: [10 pts.] a) (5 pts.) \(\displaystyle\int x\sin(2x)\,dx\) b) (5 pts.) \(\displaystyle\int \frac{dx}{x^2-4}\)
2. (8 pts.) Determine si \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}\) converge o diverge; si converge, halle su valor.
3. [12 pts.] a) (6 pts.) Sea \(x=t^2,\ y=2t+1\). Halle \(dy/dx\) en \(t=1\). b) (6 pts.) Convierta el punto polar \((4,\pi/3)\) a coordenadas rectangulares.
4. (10 pts.) Determine si \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac23\right)^n\) converge; si converge, halle su suma.
5. (10 pts.) Halle los primeros 3 términos no nulos de la serie de Maclaurin para \(f(x)=\sin x\), y úsela para aproximar \(\sin(0.1)\).
6. (8 pts.) Halle \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) si \(|\vec{a}|=3\), \(|\vec{b}|=5\), y el ángulo entre ellos es \(30°\).
7. [18 pts.] a) (9 pts.) Halle las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por \(P(1,2,-1)\) con vector dirección \(\langle3,-1,2\rangle\). b) (9 pts.) Halle la ecuación del plano que pasa por \((2,0,1)\) con vector normal \(\langle1,-3,2\rangle\).
8. Sea \(\vec{r}(t)=\langle t^2,\ \ln t,\ 2t\rangle\). [18 pts.] a) (6 pts.) Halle el dominio de \(\vec{r}(t)\). b) (6 pts.) Halle \(\displaystyle\lim_{t\to1}\vec{r}(t)\). c) (6 pts.) Determine si \(\vec{r}(t)\) es continua en \(t=1\).
9. Sea \(\vec{r}(t)=\langle3t,\ t^2,\ t^3\rangle\). [18 pts.] a) (6 pts.) Halle \(\vec{r}\,'(t)\). b) (6 pts.) Halle el vector tangente unitario en \(t=1\). c) (6 pts.) Halle \(\displaystyle\int\vec{r}(t)\,dt\).
Se acabó el tiempo. Así se siente un final real — revisa tus respuestas y repite cuando quieras.